Eu tinha pensado numa demonstra��o mais bra�al do seguinte fato:
Se a, b s�o inteiros n�o nulos, ent�o (a + bi)^n = (a - bi)^n <==> n = 0.
Mas vamos l�...
Pra completar a demonstra��o do Nicolau, precisamos mostrar que:
Z[i] = I inter Q[i].
A inclus�o de Z[i] em I inter Q[i] � f�cil de provar.
Assim, seja w pertencente a I inter Q[i].
Seja irr(w,Q) o polin�mio minimal de w sobre o corpo dos racionais.
w pertence a I ==> irr(w,Q) tem coeficientes inteiros.
w pertence a Q[i] ==> irr(w,Q) tem grau <= 2.
Podemos escrever w = (a + bi)/c, onde a, b, c s�o inteiros, c > 0 e mdc(a,b,c) = 1.
A id�ia � provar que c = 1.
Se grau(irr(w,Q)) = 1, ent�o irr(w,Q) = z - (a + bi)/c ==>
b = 0 e c | a ==>
mdc(a,b,c) = c = 1
Se grau(irr(w,Q)) = 2, ent�o irr(w,Q) = z^2 - (2a/c)z + (a^2+b^2)/c^2 ==>.
c | 2a e c^2 | a^2+b^2.
d = mdc(a,c) ==>
d^2 | a^2 e d^2 | c^2 | a^2 + b^2 ==>
d^2 | b^2 ==>
d | b ==>
d | mdc(b,mdc(a,c)) = mdc(a,b,c) = 1 ==>
d = 1 ==>
c | 2 ==>
c = 1 ou c = 2.
c = 2 ==>
c^2 = 4 | a^2 + b^2 ==>
a e b s�o ambos pares (pois a soma de dois quadrados �mpares � == 2 (mod 4)) ==>
mdc(a,b,c) = 2 ==>
contradi��o ==>
s� pode ser c = 1
Logo, em qualquer caso c = 1 e, portanto, w = a + bi pertence a Z[i].
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 25 Oct 2004 09:44:26 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] angulos dos triangulos pitagoricos |
> On Sun, Oct 24, 2004 at 01:00:06PM -0200, Claudio Buffara wrote:
> > Uma generalizacao: Prove que os angulos agudos de um triangulo pitagorico
> > sao irracionais quando expressos em graus.
>
> Uma prova mais avan�ada e bem sucinta � a seguinte.
>
> Seja I o conjunto dos inteiros alg�bricos e seja Q[i] o conjunto dos n�meros
> complexos com parte real e parte imagin�ria racionais.
> Para quem n�o sabe, um n�mero complexo z � um inteiro alg�brico
> se e somente se existe um polin�mio p, m�nico e de coeficientes inteiros,
> para o qual p(z) = 0. Assim, por exemplo, w = cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q)
> � inteiro alg�brico pois w^q - 1 = 0. Sabemos (esta � a parte dif�cil)
> que a interse��o entre I e Q[i] � Z[i], o conjunto dos complexos de parte real
> e parte imagin�ria inteiras.
>
> Voltando ao problema, se os catetos do tri�ngulo s�o a e b e a hipotenusa
> � c ent�o tome z = (a/c) + (b/c)i. Claramente z pertence a Q[i]
> e n�o pertence a Z[i], donde n�o pertence a I. Pelo exemplo acima,
> z n�o pode ser da forma cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q), que � o que quer�amos.
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>