| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 25 Oct 2004 16:12:15 -0200 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] problemas envolvendo e |
> Com relacao ao segundo, eh facil mostrar (inducao finita, Lagrange) que,
> para um dado inteiro r>=1, o produto eh maximo quando x_1 = ...x_r = A/r.
> Neste caso, o produto maximo eh p(r) = A(/r)^r.
> Consideremos a funcao p definida em (0, oo) por p(x) = (A/x)^x.
> Diferenciando e fazendo algumas simplificacoes chegamos a que p'(x) =
> (A/x)*[Ln(A/x) - 1]. Entao, constamos que p eh crescente em (0, A/e) e
> decrescente m (A/e, oo),tendo portanto um maximo global em x_m = A/e.
> Mas como o r ideal, r_m, procurado tem que ser inteiro, teremos, dependendo de
> A, que r_m = piso(A/e) ou piso(A/e)) +1, sendo piso(A/e) o maior inteiro <= A/e.
> Um problema que parece interessante é achar até que valor de A temos r_m =
> piso(A/e), passando-se entao a r_m = piso(A/e)+1. Parece que este valor
> existe e estah em torno de 10, mas observei isto empiricamente fazendo uns
> rapidos calculos
> Artur.
>
Oi, Artur:
Acho que não é bem isso, pois se A for um múltiplo inteiro de e, a solução acima é exata: A/e parcelas iguais a e.
Se a função f(x) = (A/x)^x fosse simétrica em torno de x = e, seria apenas uma questão de se verificar qual dos números A/piso(A/e) ou A/(1+piso(A/e)) está mais próximo de e e escolher o número de parcelas correspondente.
De qualquer forma, esta parece ser uma regra razoável pois o erro que cometemos ao escolher a alternativa errada é pequeno em relação ao valor do produto.
[]s,
Claudio.
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> Assunto: [obm-l] problemas envolvendo e
> Data: 22/10/04 19:30
>
> Esse problema de determinar se e^pi eh maior ou menor do que pi^e me fez
> lembrar de alguns outros que ateh jah apareceram na lista ha tempos, mas
> como recordar eh viver, aqui vao:
>
> 1) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y >
> y^x.
>
> 2) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
> x_1 + x_2 + ... + x_r = A
> de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
> (ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)
>
> 3) Considere a sequencia (a(n)) definida por:
> a(1) = x > 0
> a(n+1) = x^a(n) para n >= 1.
> Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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