Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Oct 20, 2004 at 06:46:41PM -0300, Domingos Jr. wrote:
> >
> >
> >>Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque 
> >>ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer 
> >>função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é 
> >>integravel.
> >>   
> >>
> >
> >Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
> > 
> >
> 
> Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que 
> eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos 
> sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
> 
> Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x, 
> y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito 
> (por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem 
> comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num 
> conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue 
> isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só 
> depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que 
> o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece 
> então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as 
> características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu 
> argumento da integral, certo?

Correto: o seu argumento prova que não existe
um conjunto A Lebesgue-mensurável satisfazendo
as condições do problema.

> >>Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a 
> >>descrição do teorema de Tonelli em
> >>http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html
> >>   
> >>
> >
> >Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece
> >que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale
> >em geral para a função que você construiu.
> >
> > 
> >
> O problema é que não podemos afirmar que A é mensurável e portanto f 
> pode ser bem comportada no R^2 mas não integrável em A, certo?

Exatamente: não faz sentido integrar *nenhuma* função sobre um domínio
que não seja mensurável.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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