[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - N IVEL U - Problem a 2 - Uma variação

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu realmente me enganei. O conjunto que eu queria dizer era A =
{x,x*sen(n)), | x estah em R, n eh inteiro positivo e |x*sen(x) - x| <1}.
Serah que estah certo?
Abracos
Artur 


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Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - N IVEL U - Problem a 2 - Uma
variação
Data: 20/10/04 09:57

Oi, Arthur.

Achei bastante interessante a sua idéia.
Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y
em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para
algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a
A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou.
Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais
forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para
provar que eles são enumeráveis.

Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y)
pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R |
(x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize
dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por
exemplo (-inf, 0) e [0, +inf).


On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner
<artur@opendf.com.br> wrote:
> Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
> |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
> termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
> conjunto enumeravel.
> Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
> (x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa
em
> [-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro
n>=1
> tal que |x*sen(n) - x|) <1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais
> que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel.
> Artur
> 
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> Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
> Data: 19/10/04 16:29
> 
> 
> 
> Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
> do problema 2 do nível U da prova de sábado.
> 
> Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
> (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
> (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
> 
> []s, N.
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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