Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

Bom, acho que tem uma solucao mais simples, mas o que eu estou pensando
parece passar longe de exibir todas as soluções.
   Comece com uma solução qualquer diferente de (0, 1, 2). Por exemplo,
8,9,10 = (2^2+2^2, 3^2+0^2, 3^2+1^2)
   Agora, dada uma solução n,n+1,n+2, considere a tripla (n^2 + 2n, n^2 + 2n
+ 1, n^2 + 2n +2) = (n(n+2), (n+1)^2+0^2, (n+1)^2 + 1^2)
   (estou usando que se n e n+2 sao soma de dois quadrados de inteiros,
entao n(n+2) tambem eh!).
    Note que n^2+2n > n, de forma que as triplas são todas distintas.
    []s
    Marcio

----- Original Message ----- 
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, October 18, 2004 10:55 AM
Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas


> Aqui vao dois que estao me dando uma canseira:
>
> 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2
sao
> todos somas de dois quadrados de inteiros.
>
> 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh
uma
> raiz primitiva mod p.
>
> No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois
> quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece
> na decomposicao desse inteiro com expoente par.
>
> Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra
hipotese
> vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a
> presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar.
>
> Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o
> quadrado de um inteiro par. Isso resultou em:
> n = 4y^2 + 0^2
> n+1 = 4y^2 + 1^2
> n+2 = 4y^2 + 2.
> Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos:
> 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas
> solucoes, o que resolve o problema.
>
> No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples.
> Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima.
> Por exemplo:
> 72 = 6^2 + 6^2
> 73 = 8^2 + 3^2
> 74 = 7^2 + 5^2.
> Serah que eh possivel achar todas as solucoes?
>
> *****
>
> No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro
> positivo, mas isso foi tudo que eu consegui.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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