[obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Aqui vao dois que estao me dando uma canseira:

1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2 sao
todos somas de dois quadrados de inteiros.

2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma
raiz primitiva mod p.

No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois
quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece
na decomposicao desse inteiro com expoente par.

Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra hipotese
vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a
presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar.

Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o
quadrado de um inteiro par. Isso resultou em:
n = 4y^2 + 0^2
n+1 = 4y^2 + 1^2
n+2 = 4y^2 + 2.
Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos:
4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas
solucoes, o que resolve o problema.

No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples.
Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima.
Por exemplo:
72 = 6^2 + 6^2
73 = 8^2 + 3^2
74 = 7^2 + 5^2.
Serah que eh possivel achar todas as solucoes?

*****

No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro
positivo, mas isso foi tudo que eu consegui.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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