[obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!

[jorgeluis@xxxxxxxxxxxxx]

A prova da irracionalidade da raiz de 2 é simples, elegante e muito instrutiva
pois utiliza o chamado método de redução ao absurdo. Este tipo de demonstração
também costuma ser denominado prova por contradição e, em sua essência,
constitui-se em supor o contrário daquilo que se deseja demonstrar e concluir
que tal negativa leva a algum absurdo ou contradição. Se o contrário de algo é
um absurdo, logo aquele algo é verdadeiro: esta é a lógica do método. (Alguns
importantes teoremas dos Elementos foram demonstrados por Euclides utilizando a
idéia de redução ao absurdo, o que comprova que ela já era conhecida desde os
primórdios da Matemática dedutiva). Suponhamos, então, que 2^1/2 seja um número
de forma a/b, com a e b inteiros, e que esta fração esteja reduzida a sua forma
mais simples, ou seja, que a e b não tenham fatores comuns (esta simplificação
é sempre possível, como sabemos da Aritmética). Assim a/b = 2^1/2 e a^2/b^2 = 2
então, a^2 = 2b^2 significa que a^2 é um número par, de onde se conclui que "a"
também é par, digamos 2p. Desta forma (2p)^2 = 2b^2 então, 2p^2 = b^2. Esta
igualdade indica que b^2 é par, ou seja, que b é par. Logo a e b são pares mas
isto é uma contradição com nossa hipótese inicial de que a e b não têm fatores
comuns. Como a única causa possível de termos chegado a este absurdo foi a
suposição de 2^1/2 = a/b, fica provado que 2^1/2 não pode ser o quociente entre
dois números inteiros. Após a raiz de 2, foram descobertos infinitos outros
números irracionais e as coisas ficaram assim até que, no século XVII,
principalmente devido às técnicas do Cálculo Diferencial, funções e números
passaram a poder ser expressos através das séries infinitas.

A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, sem
saber o seu valor certo?

Abraços!



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