RE: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!

["Edward Elric" <edwardelric666@xxxxxxxxxxx>]

Totalmente analogo a demonstraçao de 2^1/2:
Suponha racional, assim 10^1/3 é da forma p/q, e podemos considerar 
mdc(p,q)=1 sem perdas.
Assim p^3/q^3=10 -> p^3=2*5*q^3, logo p^3 é par, logo p é da forma 2*k, 
Entao:
8*k^3=2*5*q^3 -> 5*q^3=2*2*k^3, logo 5*q^3 é par, logo q é da forma 2*j, 
absurdo pois mdc(p,q)=1.


>From: jorgeluis@edu.unifor.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!
>Date: Wed, 13 Oct 2004 21:35:24 -0300
>
>A prova da irracionalidade da raiz de 2 é simples, elegante e muito 
>instrutiva
>pois utiliza o chamado método de redução ao absurdo. Este tipo de 
>demonstração
>também costuma ser denominado prova por contradição e, em sua essência,
>constitui-se em supor o contrário daquilo que se deseja demonstrar e 
>concluir
>que tal negativa leva a algum absurdo ou contradição. Se o contrário de 
>algo é
>um absurdo, logo aquele algo é verdadeiro: esta é a lógica do método. 
>(Alguns
>importantes teoremas dos Elementos foram demonstrados por Euclides 
>utilizando a
>idéia de redução ao absurdo, o que comprova que ela já era conhecida desde 
>os
>primórdios da Matemática dedutiva). Suponhamos, então, que 2^1/2 seja um 
>número
>de forma a/b, com a e b inteiros, e que esta fração esteja reduzida a sua 
>forma
>mais simples, ou seja, que a e b não tenham fatores comuns (esta 
>simplificação
>é sempre possível, como sabemos da Aritmética). Assim a/b = 2^1/2 e a^2/b^2 
>= 2
>então, a^2 = 2b^2 significa que a^2 é um número par, de onde se conclui que 
>"a"
>também é par, digamos 2p. Desta forma (2p)^2 = 2b^2 então, 2p^2 = b^2. Esta
>igualdade indica que b^2 é par, ou seja, que b é par. Logo a e b são pares 
>mas
>isto é uma contradição com nossa hipótese inicial de que a e b não têm 
>fatores
>comuns. Como a única causa possível de termos chegado a este absurdo foi a
>suposição de 2^1/2 = a/b, fica provado que 2^1/2 não pode ser o quociente 
>entre
>dois números inteiros. Após a raiz de 2, foram descobertos infinitos outros
>números irracionais e as coisas ficaram assim até que, no século XVII,
>principalmente devido às técnicas do Cálculo Diferencial, funções e números
>passaram a poder ser expressos através das séries infinitas.
>
>A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, 
>sem
>saber o seu valor certo?
>
>Abraços!
>
>
>
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