RE: [obm-l] Duvida na desigualdade triangular

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Niski e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Nao ha o que agradecer. Gostaria de ter tempo para poder participar mais, 
conforme eu fazia em tempos idos. Nao sei se entendi o que voce quer abaixo, 
mas pode suceder que seja tao obvio que voce nao esta vendo. Imagino que ele 
usa : |a| - |b| =< |a-b| e |a/b| = |a|/|b|. Senao, vejamos :

| [(f(x)-f(c))/(x-c)] | - | f'(c)| =< | [(f(x)-f(c))/(x-c)] - f'(c)|  
propriedade dos modulos
Como  | [(f(x)-f(c))/(x-c)] - f'(c)| < 1  => | [(f(x)-f(c))/(x-c)] | - | 
f'(c)| < 1. Daqui :
| [(f(x)-f(c))/(x-c)] | < | f'(c)| + 1 => | f(x)-f(c)| / |x-c| < | f'(c)| + 
1 Ou seja ;
| f(x) - f(c) | < |x-c|*{|f'(c)| + 1} e evidentemente lim f(x) = f(c) => 
f(x) e continua em c.

Note que os passos acima sao altamente truculentos e desnecessarios, pois, 
se a derivada existe e claramente x-c -> 0 ( quando x -> c ) entao lim 
{(x-c)*[f(x) - f(c)/x-c]}=0 => lim f(x) = f(c) logo f(x) e continua em c.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
4,1838,131004


>From: Fabio Niski <fniski@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Duvida na desigualdade triangular
>Date: Wed, 13 Oct 2004 15:40:13 -0300
>
>Primeiramente, obrigado Paulo pela ajuda na questao de convexidade.
>Estou com uma duvida elementar...gostaria que por favor me ajudassem.
>Lendo uma prova do fato de que se f tem derivada em um ponto c, entao f é 
>continua em c, Bartle argumenta que
>
>"Seja eps = 1 e tome d = d(1)  tal que
>| [(f(x)-f(c))/(x-c)] - f'(c)| < 1, para todo x no dominio de f, 
>satisfazendo 0 < | x - c | < d.
>Da desigualdade triangular, nos inferimos que para esses valores de x, 
>temos
>|f(x) - f(c)|  <= |x-c|{|f'(c)| +1}"
>
>Eu realmente nao enxergo como ele chegou nessa ultima desigualdade...
>
>Alguem por favor me ajude!
>
>Obrigado
>
>
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