Re: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio,
O que acontece com relacao a derivadas eh o seguinte.

(1) Derivadas podem ser descontinuas sim, mas jamais apresentam
descontinuidade do tipo salto, aquela caracterizada pela existencia de
limites aa direita e aa esquerda mas em valores distintos. Assim, se f' for
descontinua em a, entao f' tem limite em a, apresentando  entao  aquela
descontinuidade que alguns autores chamam de essencial ou "nao removivel".
Uma forma facil de ver isto eh usar a Regra de L'Hospital. Eh por isso que
se f' eh monotona em [a,b], entao f' eh continua em [a,b], visto que funcoes
monotonas so podem apresentar descontinuidades do tipo salto.

(2) Derivadas, ainda que nao sejam continuas em seu dominio, apresentam
sempre a chamada propriedade do valor intermediario. Isto eh, se f' eh
definida em [a, b] e f'(a) <> f'(b), entao f' assume em [a,b] todos os
valores entre f'(a) e f'(b). Assim, se k estah entre f'(a) e f'(b), podemos
entao afirmar que existe algum c em (a,b) tal que f'(c) = k. Esta conclusao
eh conhecida por Teorema de Darbaux (um matematico frances) e sua
demonstracao eh surpreendentemente simples. Basta considerar a funcao
g:[a,b] -> R dada por g(x) = f(x) - k*x e analisa-la quanto a maximos ou
minimos. Assim, se f' nunca se anula em um intervalo, limitado ou nao, entao
f' tem que ser estritamente positiva ou negativa neste intervalo. Foi nisso
que me baseei para no caso das cordas afirmar que f'' era estritamente
positiva ou negatia. Esqueci de fazer este comentario na ocasiao.  

Abracos
Artur 

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao
Data: 13/10/04 17:00

Oi, Artur:

Tem outra coisa que voce escreveu que me deixou em duvida: "o fato de f''
nao se anular em R implica que f'' eh estritamente positiva ou estritamente
negativa". Serah que isso nao pressupoe que f'' eh continua? O enunciado diz
apenas que f''(x) <> 0 para cada x real mas nao que f'' eh continua.

Por exemplo, se f(x) = x*|x|, teremos f''(x) = -2 para x < 0 e f''(x) = 2
para x > 0. Nesse caso f''(0) nao existe. De qualquer jeito, f''(x) eh <> 0
onde eh definida mas f'' nao eh estritamente positiva nem estritamente
negativa.

Talvez voce tenha razao porque, se nao me engano, uma funcao derivada nao
pode ter qualquer tipo de descontinuidade, mas eu estou meio sem saco de
procurar os detalhes num livro...



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