Re: [obm-l] Duvida na desigualdade triangular

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta demonstracao do Bartle, baseada na definicao de derivada, eh legal, mas
hah uma outra que me parece mais simples de entender e que aparece em um
outro livro do proprio Bartle (e que parece ser mais comum). Suponhamos que
f seja difererenciavel em a e observemos que, para x<>a em uma vizinhanca de
a, f(x) - f(a) = (x-a) * ((f(x) - f(a))/(x-a). Quando x->a, x-a ->0 e 
((f(x) - f(a))/(x-a) -> f'(a). Como esta dua funcoes apresentam limite em a,
o produto tambem apresenta, tendo-se que f(x) - f(a) -> 0 * f'(a) = 0, o que
prova a continuidade de f em a. 
Isto vale tambem para funcoes complexas de uma variavel.
Artur 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Duvida na desigualdade triangular
Data: 13/10/04 18:01

on 13.10.04 16:40, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:

> Primeiramente, obrigado Paulo pela ajuda na questao de convexidade.
> Estou com uma duvida elementar...gostaria que por favor me ajudassem.
> Lendo uma prova do fato de que se f tem derivada em um ponto c, entao f
> é continua em c, Bartle argumenta que
> 
> "Seja eps = 1 e tome d = d(1) tal que
> | [(f(x)-f(c))/(x-c)] - f'(c)| < 1, para todo x no dominio de f,
> satisfazendo 0 < | x - c | < d.
> Da desigualdade triangular, nos inferimos que para esses valores de x,
temos
> |f(x) - f(c)| <= |x-c|{|f'(c)| +1}"
> 
> Eu realmente nao enxergo como ele chegou nessa ultima desigualdade...
> 
> Alguem por favor me ajude!
> 
> Obrigado
> 
Se A e B sao reais (ou complexos), entao |A - B| >= ||A| - |B|| (*)

Pra ver isso, aplique a desigualdade triangular:
|A| = |B + (A - B)| <= |B| + |A - B| ==> |A| - |B| <= |A - B|

Permutando A e B, voce obtem |B| - |A| <= |B - A| = |A - B|.

Junatando as duas, voce obtem a desigualdade (*) acima.


[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

________________________________________________
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================