Re: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

Tem outra coisa que voce escreveu que me deixou em duvida: "o fato de f''
nao se anular em R implica que f'' eh estritamente positiva ou estritamente
negativa". Serah que isso nao pressupoe que f'' eh continua? O enunciado diz
apenas que f''(x) <> 0 para cada x real mas nao que f'' eh continua.

Por exemplo, se f(x) = x*|x|, teremos f''(x) = -2 para x < 0 e f''(x) = 2
para x > 0. Nesse caso f''(0) nao existe. De qualquer jeito, f''(x) eh <> 0
onde eh definida mas f'' nao eh estritamente positiva nem estritamente
negativa.

Talvez voce tenha razao porque, se nao me engano, uma funcao derivada nao
pode ter qualquer tipo de descontinuidade, mas eu estou meio sem saco de
procurar os detalhes num livro...

[]s,
Claudio.

on 13.10.04 14:31, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> Eu achei uma solucao que usou sucessivamente o teorema do valor medio.
> No entanto, uma dica que talvez seja util eh a seguinte: se as duas cordas
> se bisectam, entao elas sao diagonais de um paralelogramo... pensando
> melhor, no fim voce vai precisar do t.v.m de qualquer jeito.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> on 08.10.04 17:45, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:
> 
>> Fazendo uma analise rapida, de bate pronto.
>> O fato de f'' nao se anular em R implica que f'' eh estritamente positiva ou
>> estritamente negativa em R.
>> Se f'' for estritamente positiva, f eh convexa.  Alem disto, f' eh
>> estritamente crescente em R, de modo que f nao eh constante. Se houver dois
>> intervalos fechados [a,b] e [c,d] tais que os segmentos de retas definidos
>> pelos pares (a,f(a)) e (b, f(b)) e (c,f(c)) e (d,f(d)) se bisectem, entao os
>> intervalos sao encaixados e tem o mesmo ponto medio m =(a+b)/2 = (c+d)/2.
>> Mas entao a convexidade de f e o fato de f nao ser constante  acarretam que
>> o segmento de reta correspondente ao intervalo externo esteja sempre acima
>> do correspondente ao intervalo interno, contrariando a hipotese de que eles
>> se bisectem.
>> Se f'' for estritamente negativa, entao f eh concava e nao constante,
>> cabendo argumentos similares.
>> Artur 
>> 
>> 
>> --------- Mensagem Original --------
>> De: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Assunto: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao
>> Data: 07/10/04 19:26
>> 
>> A funcao f: R -> R eh duas vezes diferenciavel e f''(x) <> 0 para todo x
>> real. Prove que duas cordas quaisquer no grafico de f nao se bisectam.
>> (uma corda eh um segmento de reta que une dois pontos distintos do grafico
>> de f).
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================