Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 08.10.04 15:54, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote:
>> O problema a seguir eh trivial?
>> 
>> Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I.
>> (I = matriz identidade)
>> 
>> Problema adicional:
>> Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos
>> dizer sobre BA?
> 
> Come�ando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA
> donde BA � uma proje��o de posto m, ou seja, uma proje��o de R^n sobre
> um subespa�o de dimens�o m.
> 
> Quanto ao primeiro, eu diria que ele *n�o* � trivial. Encarando A e B
> como transforma��es lineares, � bem claro que A � sobre e B � injetora.
> O que fica faltando � provar o seguinte lema:
> 
> Seja T uma transforma��o linear de um espa�o vetorial de dimens�o finita V
> nele mesmo. Ent�o as seguintes condi��es s�o equivalentes:
> 
> (a) T � injetora;
> (b) T � sobrejetora;
> (c) T � invers�vel.
> 
> Este � uma esp�cie de vers�o linear do princ�pio das casas de pombos
> e requer demonstra��o. A demonstra��o pode ser encontrada em qualquer
> livro de �lgebra linear, claro, mas n�o � de todo trivial. Note que todas
> as seguintes hip�teses s�o necess�rias:
> 
> Dimens�o finita: o lema � falso em espa�os vetoriais de dimens�o infinita.
> Espa�o vetorial: o lema � falso para m�dulos sobre quase qualquer anel.
> 
> A necessidade destas duas hip�teses torna a meu ver o princ�pio das
> casas de pombos lineares algo n�o trivial.
> 
> []s, N.
> 
> 
Oi, Nicolau:

Obrigado pela resposta. Voce iluminou um novo angulo do problema.

Para o primeiro problema, eu havia pensado em usar um resultado que diz
respeito as condicoes minimas necessarias para um semi-grupo ser um grupo.
Acho que o Domingos mencionou algo a respeito. Em linguagem de matrizes
seria o seguinte:

Seja M um conjunto de matrizes quadradas nxn (n arbitrario), fechado em
relacao ao produto usual de matrizes (que sabemos ser associativo) e com as
seguintes propriedades:
1) Existe I em M tal que A*I = A, para toda A em M;
2) Para cada A em M, existe B em M tal que A*B = I.
Entao, para cada A em M vale I*A = A e dada B tal que A*B = I, tem-se B*A =
I.

Tomemos A em M. Seja B tal que A*B = I.
Como B estah em M, vai existir C em M tal que B*C = I.
Entao, A = A*I = A*(B*C) = (A*B)*C = I*C.
Logo, B*A = B*(I*C) = (B*I)*C = B*C = I.
Alem disso, I*A = (A*B)*A = A*(B*A) = A*I = A.


[]s,
Claudio.


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