Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote:
> O problema a seguir eh trivial?
> 
> Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I.
> (I = matriz identidade)
> 
> Problema adicional:
> Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos
> dizer sobre BA?

Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA
donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre
um subespaço de dimensão m.

Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B
como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora.
O que fica faltando é provar o seguinte lema:

 Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V
 nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes:

 (a) T é injetora;
 (b) T é sobrejetora;
 (c) T é inversível.

Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos
e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer
livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas
as seguintes hipóteses são necessárias:

 Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita.
 Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel.

A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das
casas de pombos lineares algo não trivial.

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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