Re: [obm-l] elementos de ordem 2 em grupos abelianos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 12.10.04 02:00, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Eu estava comendo mosca. Se G é um grupo abeliano no qual todo elemento
> salvo a unidade tem ordem 2, então G tem 2^n elementos. Esse resultado segue
> do teorema de Cauchy. Porém ainda não dá para assegurar que dado n qualquer
> seja possível formar um grupo com 2^n elementos nessas condições, embora até
> n=3 tenha dado certo.
>
Que tal (Z_2)^n = espaco vetorial das n-uplas ordenadas cujas componentes
sao elementos de Z_2, ou seja, 0 ou 1, com a operacao de soma componente a
componente e tal que 0+0 = 1+1 = 0 e 0+1 = 1+0 = 1?
  
A hipotese de G ser abeliano e o teorema de Cauchy tambem sao
desnecessarios. Todo grupo finito G em que os elementos distintos da
identidade tem ordem 2 eh necessariamente abeliano e tem ordem 2^n para
algum n.

Dados a e b em G, teremos a^2 = b^2 = e ==> a^2b^2 = aabb = e.
Tambem (ab)^2 = abab = e. Ou seja, aabb = abab e cancelando a na esquerda e
b na direita obtemos ab = ba, o que prova que G eh abeliano.

Agora, tomemos um conjunto minimal de geradores do grupo G (uma "base", por
assim dizer) x_1, x_2, ..., x_n. Cada elemento de G pode ser expresso de
forma unica da forma x_1^a_1*x^2^a_2*...*x_n^a_n, onde a_i eh um inteiro
nao-negativo para 1 <= i <= n.
Levando em conta que x_i^2 = e, vemos que podemos restringir cada a_i ao
conjunto {0,1}. Isso dah 2 alternativas para cada a_i, num total de 2^n
alternativas, uma para cada elemento de G. Logo |G| = 2^n.

[]s,
Claudio.

> kleinad@webcpd.com escreveu:
>> 
>> É fácil mostrar que se G é um grupo abeliano, então ou não existe nenhum
>> elemento de ordem 2 em G, ou então existe um número ímpar de elementos desse
>> tipo; basta observar que juntamente com a unidade eles formam um subgrupo H
>> de G e então usar Lagrange em cima de um subgrupo gerado por qualquer
>> elemento (diferente da unidade) de H.
>> 
>> No entanto, dado um x ímpar qualquer, nem sempre é possível formar um grupo
>> abeliano que tenha x elementos de ordem 2; pelo menos eu desconfio disso.
>> Fazendo algumas computações, consegui formar grupos abelianos com 1 e 3
>> elementos de ordem 2, mas ao inserir um 4º elemento, acabei terminando com 7
>> no total, ou seja, não consegui formar um grupo com 5 elementos de ordem 2.
>> 
>> Enfim, alguém saberia dizer mais a esse respeito? Existe alguma regularidade
>> na formação de grupos abelianos com elementos de ordem 2 (para facilitar a
>> vida, considere um grupo onde todos os elementos diferentes da unidade têm
>> ordem 2), isto é, os números possíveis de elementos desses grupos?
>> 
>> []s,
>> Daniel
>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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