Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

A solucao que eu encontrei foi a seguinte:

Tome o ponto M tal que MBC eh semelhante a PQR e M e A se encontram no mesmo semi-plano determinado por BC. Nesse caso, teremos as igualdades de angulos:
BMD = BAD  e  CMD = CAD.
A ideia eh provar que M e A coincidem.

Para isso, construa os arcos capazes de BAD em relacao a BD e de CAD em relacao a DC.
Por serem arcos de circunferencia, eles se intersectam em exatamente dois pontos: A e D.
Como BMD = BAD, M pertence ao primeiro arco.
Como CMD = CAD, M pertence ao segundo arco.
Logo, M = D ou M = A.
Mas M eh claramente distinto de D, pois caso contrario, o triangulo MBC (e portanto o triangulo PQR) seria degenerado. 
Logo, soh pode ser M = A ==> CAD = CMD ~ PQR.

[]s,
Claudio.

on 10.10.04 19:20, Tércio Miranda at barzeus@dglnet.com.br wrote:

> Problema
> São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
> Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR são semelhantes.
>  
> Fixemos o triângulo ABC no seu plano.
> Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos
> dão as congruências dos triângulos PQR e ALM (LAL).
> A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas hipóteses de igualdade de ângulos
> BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento LM.
> Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortará AB e AC (semiretas)
> nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria um paralelogramo! Um contradição.
> Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM são semelhantes e temos o resultado.
>  
> Um abraço do colega 
> Tércio Miranda
>