Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[Tércio Miranda <barzeus@xxxxxxxxxxxxx>]

Porque as diagonais do referido quadrilátero intersectar-se-iam pelo ponto
médio, daí um paralelogramo.
Certo?
Saludos
Tércio Miranda
----- Original Message -----
From: Eduardo Henrique Leitner <eduardo.leitner@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, October 10, 2004 9:35 PM
Subject: Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara


> nao entendih essa parte:
>
> "Daí UMVL seria um paralelogramo!"
>
> por que seria um paralelogramo?
>
>
> eu resolvi esse por tangentes...
>
> no triangulo ABC de mediana AD, traçamos a altura em relação ao vértice C
(corta a reta AB em H) e a altura do trangulo ABD em relação ao vértice D
(corta a reta AB em I)
>
> BHC e BID sao semlhantes pois possuem todos os angulos iguais. Como BC =
2BD, podemos dizer que BH = 2BI, e vamos chamar a medida BI de x, HC de h,
AB de y
>
> finalmente, podemos dizer que tg (IAD) = h/[2(y - x)], tg (BAC) = h/(y -
2x), tg (ABC) = h/2x
>
> com essas equações podemos achar uma relação entre as tres tangentes que
nao depende nem de h, nem de x e nem de y, portanto, o angulo ABC estah
determinado unicamente pelos angulos IAD e BAC, que sao iguais para o
triangulo PQR e portanto, o angulo PQR eh igual ao angulo ABC e portanto os
triangulos sao semelhantes...
>
> (é, eu também acho que a minha solução deu bem mais trabalho... hehehe)
> e nessa resolução eu nao considerei o caso de os angulos em questao serem
retos, mas se o forem eh muito fahcil provar que eles sao semelhantes...
>
>
>
> On Sun, Oct 10, 2004 at 06:20:35PM -0300, Tércio Miranda wrote:
> > Problema
> > São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD e PS ,
respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
> > Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR são semelhantes.
> >
> > Fixemos o triângulo ABC no seu plano.
> > Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M
tal que AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos
> > dão as congruências dos triângulos PQR e ALM (LAL).
> > A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o
qual pelas hipóteses de igualdade de ângulos
> > BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento LM.
> > Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC podemos conduzir por K
uma paralela a BC que cortará AB e AC (semiretas)
> > nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria um paralelogramo! Um
contradição.
> > Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM são semelhantes e
temos o resultado.
> >
> > Um abraço do colega
> > Tércio Miranda
> >
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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