Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[Eduardo Henrique Leitner <eduardo.leitner@xxxxxxxxxxxx>]

nao entendih essa parte:

"Daí UMVL seria um paralelogramo!"

por que seria um paralelogramo?


eu resolvi esse por tangentes...

no triangulo ABC de mediana AD, traçamos a altura em relação ao vértice C (corta a reta AB em H) e a altura do trangulo ABD em relação ao vértice D (corta a reta AB em I)

BHC e BID sao semlhantes pois possuem todos os angulos iguais. Como BC = 2BD, podemos dizer que BH = 2BI, e vamos chamar a medida BI de x, HC de h, AB de y

finalmente, podemos dizer que tg (IAD) = h/[2(y - x)], tg (BAC) = h/(y - 2x), tg (ABC) = h/2x

com essas equações podemos achar uma relação entre as tres tangentes que nao depende nem de h, nem de x e nem de y, portanto, o angulo ABC estah determinado unicamente pelos angulos IAD e BAC, que sao iguais para o triangulo PQR e portanto, o angulo PQR eh igual ao angulo ABC e portanto os triangulos sao semelhantes...

(é, eu também acho que a minha solução deu bem mais trabalho... hehehe)
e nessa resolução eu nao considerei o caso de os angulos em questao serem retos, mas se o forem eh muito fahcil provar que eles sao semelhantes...



On Sun, Oct 10, 2004 at 06:20:35PM -0300, Tércio Miranda wrote:
> Problema
> São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
> Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR são semelhantes.
> 
> Fixemos o triângulo ABC no seu plano.
> Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos
> dão as congruências dos triângulos PQR e ALM (LAL).
> A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas hipóteses de igualdade de ângulos
> BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento LM.
> Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortará AB e AC (semiretas)
> nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria um paralelogramo! Um contradição.
> Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM são semelhantes e temos o resultado.
> 
> Um abraço do colega 
> Tércio Miranda
>   
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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