Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[Eduardo Henrique Leitner <eduardo.leitner@xxxxxxxxxxxx>]

nao entendih essa parte:

"Da� UMVL seria um paralelogramo!"

por que seria um paralelogramo?


eu resolvi esse por tangentes...

no triangulo ABC de mediana AD, tra�amos a altura em rela��o ao v�rtice C (corta a reta AB em H) e a altura do trangulo ABD em rela��o ao v�rtice D (corta a reta AB em I)

BHC e BID sao semlhantes pois possuem todos os angulos iguais. Como BC = 2BD, podemos dizer que BH = 2BI, e vamos chamar a medida BI de x, HC de h, AB de y

finalmente, podemos dizer que tg (IAD) = h/[2(y - x)], tg (BAC) = h/(y - 2x), tg (ABC) = h/2x

com essas equa��es podemos achar uma rela��o entre as tres tangentes que nao depende nem de h, nem de x e nem de y, portanto, o angulo ABC estah determinado unicamente pelos angulos IAD e BAC, que sao iguais para o triangulo PQR e portanto, o angulo PQR eh igual ao angulo ABC e portanto os triangulos sao semelhantes...

(�, eu tamb�m acho que a minha solu��o deu bem mais trabalho... hehehe)
e nessa resolu��o eu nao considerei o caso de os angulos em questao serem retos, mas se o forem eh muito fahcil provar que eles sao semelhantes...



On Sun, Oct 10, 2004 at 06:20:35PM -0300, T�rcio Miranda wrote:
> Problema
> S�o dados os tri�ngulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
> �ngulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR s�o semelhantes.
> 
> Fixemos o tri�ngulo ABC no seu plano.
> Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hip�teses nos
> d�o as congru�ncias dos tri�ngulos PQR e ALM (LAL).
> A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas hip�teses de igualdade de �ngulos
> BAD=QPS e CAD=RPS, � o ponto m�dio do segmento LM.
> Agora, se, por absurdo, LM n�o for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortar� AB e AC (semiretas)
> nos pontos U e V, respectivamente. Da� UMVL seria um paralelogramo! Um contradi��o.
> Ent�o LM � paralela a BC e os tri�ngulos ABC e ALM s�o semelhantes e temos o resultado.
> 
> Um abra�o do colega 
> T�rcio Miranda
>   
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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