RE: [obm-l] Cones e conjuntos convexos.

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Niski e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Pelo que entendi, voce quer mostrar que C(A) e convexo ( pois e 
evidentemente um cone, segundo as suas definicoes ). Sem escrever, IMAGINE o 
seguinte :

"Como A e convexo, se eu tomar dois multiplos positivos - elementos de C(A) 
- de A e, a seguir, escolher um ponto do segmento que liga estes dois 
multiplos, entao esse ponto deve ser multiplo de algum ponto do segmento que 
liga os dois pontos originais de A"

De fato. Sejam "m*a" e "n*b" dois elementos de C(A), onde "a" e "b" sao 
elementos de A. Entao, para todo T1,  0 =< T1 =< 1, existe T2, 0 =< T2 =< 1, 
tal que, para algum K >= 0 teremos :

T1*m*a + (1 - T1)*n*b = K*(T2*a + (1-T2)*b)

Ou seja :

K*T2 = T1*m
K - K*T2 = (1 - T1)*n

Daqui : K = T1*m + (1 -T1)*n. Claramente que K >= 0. E, alem disso :
T2 = (T1*m) /[T1*m + (1 -T1)*n]. Claramente que 0 =< T2 =< 1

Isto mostra que o que sentimos estava correto. Logo, C(A) e convexo.

Claramente que podemos generalizar o raciocinio ... Sejam A e B sao dois 
conjuntos convexos. Seja C(A,B) o conjunto de todos os segmentos com uma 
extremidade em A e outra em B. Entao C(A,B) e um conjunto convexo".

Um Abracao
Paulo Santa Rita
2,1048,111004

>From: Fabio Niski <fniski@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Cones e conjuntos convexos.
>Date: Mon, 11 Oct 2004 00:24:25 -0300
>MIME-Version: 1.0
>
>Pessoal, estou com dificuldades para provar a seguinte afirmacao:
>
>Se A é convexo, então C(A) é um cone convexo
>
>onde a definicao de Cone que tenho é  (obs: vec(x) lê-se "vetor x")
>Um cone C, é um conjunto de pontos com a seguinte propriedade: Se vec(x) 
>estiver no conjunto, u*vec(x) tb estará para todo u >= 0.  e C(A) é o cone 
>gerado pelo conjunto A, ou seja é o conjunto C(A) = {vec(y) | vec(y) = 
>u*vec(x) ,  p/ todo u >=0 e todo vec(x) pert a A).
>
>
>Obrigado a todos.

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