Re: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Fazendo uma analise rapida, de bate pronto. 
O fato de f'' nao se anular em R implica que f'' eh estritamente positiva ou
estritamente negativa em R. 
Se f'' for estritamente positiva, f eh convexa.  Alem disto, f' eh
estritamente crescente em R, de modo que f nao eh constante. Se houver dois
intervalos fechados [a,b] e [c,d] tais que os segmentos de retas definidos
pelos pares (a,f(a)) e (b, f(b)) e (c,f(c)) e (d,f(d)) se bisectem, entao os
intervalos sao encaixados e tem o mesmo ponto medio m =(a+b)/2 = (c+d)/2.
Mas entao a convexidade de f e o fato de f nao ser constante  acarretam que
o segmento de reta correspondente ao intervalo externo esteja sempre acima 
do correspondente ao intervalo interno, contrariando a hipotese de que eles
se bisectem.
Se f'' for estritamente negativa, entao f eh concava e nao constante,
cabendo argumentos similares.
Artur 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Cordas no grafico de uma funcao
Data: 07/10/04 19:26

A funcao f: R -> R eh duas vezes diferenciavel e f''(x) <> 0 para todo x
real. Prove que duas cordas quaisquer no grafico de f nao se bisectam.
(uma corda eh um segmento de reta que une dois pontos distintos do grafico
de f).

[]s,
Claudio.

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