[obm-l] Funcao com limites em todo o seu dominio

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Com relacao a um problema que circulou aqui na lista, eu consegui chegar aa
seguinte conclusao com base numa afirmacao que vi em um livro do Rudin.

Suponhamos que f seja definida em um subconjunto A de R^n e tenha valores em
R^m. Se f apresentar limite em todos os elementos de A, entao o conjunto dos
elementos de A nos quais f eh descontinua eh enumeravel.  

Prova: Seja D o conjunto dos elementos de A nos quais f eh descontinua. Para
cada x de A, definamos g(x) = lim (t->x) f(t). Entao, g eh bem definida.
Para cada inteiro positivo n, seja D_n = {x de A | |g(x - f(x| >1/n}. Temos
entao que D = Uniao (n=1, oo) D_n. Se D nao for enumeravel, entao, para
algum n, D_n nao eh enumeravel (pois {D_n} eh uma colecao enumeravel}. Logo,
D_n possui necessariamente um ponto de acumulacao p em A, existindo assim
uma sequencia {x_m} em D_n -{p} que converge para p. Como g(x_m) = lim (t ->
x_m) f(t), existe em A um elemento y_m tal que y_m<(1/m),  y_m <>p (pois x_m
eh ponto de acumulacao de A) e |f(y_m) - f(x_m)| >1/n (1). Entao {y_m - x_m}
-> 0, o que implica que y_m -> p, e f(x_m) -> g(p). De (1) segue-se que
f(y_m) - f(x_m)| nao converge para 0 e que, portanto, f(y_m) nao convege
para g(p), de modo que f nao apresenta limite em p. Mas como p pertence a A,
isto eh uma contradicao, a qual mostra que D tem que ser enumeravel.
Corolario: Se A nao for enumeravel, entao nao existe nenhuma funcao f:A->
R^m que apresente limite em todos os pontos de A mas seja descontinua em
todo o A.

No caso de funcoes reais definidas em um intervalo aberto I e com valores em
R, entao uma condicao suficiente para que o conjunto das descontinuidaes de
f seja enumeravel eh que f apresente limites, ainda que distintos, aa
direita e aaa esquerda de todos os pontos de I. Estou tentando provar isto,
a prova anterior acho que agora nao se aplica. A saida talvez seja considera
racionais "proximos" aos elementos de I.
Artur

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