Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Essa sua solucao soh estarah completa se voce provar que a sequencia:
sqrt(2), sqrt(2+sqrt(2)), sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))), ... converge.
Foi isso o que eu fiz abaixo.

on 06.10.04 19:25, eritotutor at eritotutor@bol.com.br wrote:

> Outra soluçao:
> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*)
> Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> Note que (*) pode ser reescrita como:
> x = sqrt (u +2) e portanto:
> x = sqrt (x + 2)
> Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq.
> do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1.
> Portanto a soluçao eh dois.
> []s
> 
> 
> 
> ---------- Início da mensagem original -----------
> 
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
> Cc: 
> Data: Wed,  6 Oct 2004 18:18:15 -0300
> Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
> 
>> Seja (x(n)) a sequência definida por:
>> x(1) = raiz(2)
>> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1.
>> 
>> 1. (x(n)) é limitada:
>> Basta provar que x(n) < 2, para todo n.
>> Para n = 1 é óbvio.
>> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x
> (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou.
>> 
>> 2. (x(n)) é monótona crescente:
>> Obviamente os x(n) são todos positivos.
>> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2.
>> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0
> < x(n) < 2.
>> 
>> (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x
> (n).
>> 
>> Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x
> = -1.
>> A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é
> positivo.
>> 
>> Assim, só pode ser lim x(n) = 2.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Cópia:
>> 
>> Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300
>> 
>> Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício
>> 
>> 
>> 
>>>> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>>> 
>>>> x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>>> x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>>> 
>>> 
>>> 
>>> Nesta etapa aqui eh necessario a analise da
> convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
>>> Certamente convergira, alguem sabe para qual numero
> isto converge ?
>>>> x^2 - 2 = x
>>>> x^2 - x - 2 = 0
>>>> 
>>>> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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