Seja (x(n)) a sequência definida por:
x(1) = raiz(2)
x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1.
1. (x(n)) é limitada:
Basta provar que x(n) < 2, para todo n.
Para n = 1 é óbvio.
Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x(n-1)) <
raiz(2 + 2) = 2 e acabou.
2. (x(n)) é monótona crescente:
Obviamente os x(n) são todos positivos.
Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2.
Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n)
< 2.
(1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x(n).
Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1.
A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo.
Assim, só pode ser lim x(n) = 2.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l"
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 6 Oct 2004 16:59:33
-0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Re:[obm-l] Re:
[obm-l] Exercício |
> > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> >
> > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> >
>
>
> Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de
sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge
?
> > x^2 - 2 = x
> > x^2 - x - 2 = 0
> >
> >