[obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....

["eritotutor" <eritotutor@xxxxxxxxxx>]

Para Claudio, e os amigos da lista
Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que 
soh estaria correta se soubesse que a serie realmente 
convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado 
fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas 
com ela (tipo x^x^x... = sqrt2) são questões que jah 
cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada 
foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria 
uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel 
superior? 
[]s

Outra soluçao:
x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*)
Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
Note que (*) pode ser reescrita como:
x = sqrt (u +2) e portanto:
x = sqrt (x + 2)
Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. 
do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1.
Portanto a soluçao eh dois.
[]s



---------- Início da mensagem original -----------

      De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
    Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
      Cc: 
    Data: Wed,  6 Oct 2004 18:18:15 -0300
 Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....

> Seja (x(n)) a sequência definida por:
> x(1) = raiz(2)
> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1.
> 
> 1. (x(n)) é limitada:
> Basta provar que x(n) < 2, para todo n.
> Para n = 1 é óbvio.
> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x
(n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou.
> 
> 2. (x(n)) é monótona crescente:
> Obviamente os x(n) são todos positivos.
> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2.
> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 
< x(n) < 2.
> 
> (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x
(n).
> 
> Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x 
= -1.
> A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é 
positivo.
> 
> Assim, só pode ser lim x(n) = 2.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300
> 
> Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício
> 
>   
> 
> > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > > 
> > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > > 
> > 
> > 
> > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da 
convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... 
> > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero 
isto converge ?
> > > x^2 - 2 = x
> > > x^2 - x - 2 = 0
> > > 
> > > 
 
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