[obm-l] geom diferencial (problemas)

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Gostaria de uma ajuda para os problemas abaixo:

 

1) Suponha que f(t) � uma curva plana param. por comp. de arco. [Faz-se dt/ds = kn para determinar um sinal para k]Transporte os vetores T(s) [ T(s) = f�(s) ] de modo que a origem de t(s) coincida com a origem de R^2; a extremidade de t(s) descreve ent�o uma curva param. s --> T(s) chamada indicatriz tangente de f. Seja m(s) o �ngulo de e_1 a T(s) na orienta��o de R^2. Prove a) e b) (observe que estamos assumindo k<>0).

 

a) A indicatriz tangente � uma curva parametrizada regular;

 

b) dT/ds = (dm/ds)n, i.e., k = dm/ds.

 

 

2) Dada uma fun��o difenci�vel k(s), s em J (intervalo aberto de R), mostre que a curva plana parametrizada que tem k(s) = k como curvatura � dada por

 

f(s) = (int cos(p(s)) ds + a, int sen (p(s)) ds + b) , 

 

onde

 

p(s) = int k(s) ds + c,

 

e que a curva � determinada a menos de uma transla��o do vetor (a,b) e de uma rota��o do �ngulo c.

 

Nota��o: int h(s) ds = integral da fun��o h.

 

Grato desde j�, �der.

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