[obm-l] geom diferencial (problemas)

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Gostaria de uma ajuda para os problemas abaixo:

 

1) Suponha que f(t) é uma curva plana param. por comp. de arco. [Faz-se dt/ds = kn para determinar um sinal para k]Transporte os vetores T(s) [ T(s) = f´(s) ] de modo que a origem de t(s) coincida com a origem de R^2; a extremidade de t(s) descreve então uma curva param. s --> T(s) chamada indicatriz tangente de f. Seja m(s) o ângulo de e_1 a T(s) na orientação de R^2. Prove a) e b) (observe que estamos assumindo k<>0).

 

a) A indicatriz tangente é uma curva parametrizada regular;

 

b) dT/ds = (dm/ds)n, i.e., k = dm/ds.

 

 

2) Dada uma função difenciável k(s), s em J (intervalo aberto de R), mostre que a curva plana parametrizada que tem k(s) = k como curvatura é dada por

 

f(s) = (int cos(p(s)) ds + a, int sen (p(s)) ds + b) , 

 

onde

 

p(s) = int k(s) ds + c,

 

e que a curva é determinada a menos de uma translação do vetor (a,b) e de uma rotação do ângulo c.

 

Notação: int h(s) ds = integral da função h.

 

Grato desde já, Éder.

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