Re: [obm-l] Raízes Encaixadas

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

claudio.buffara wrote:

> Quanto vale raiz(1+raiz(2+raiz(3+raiz(4+raiz(5+....  se é que isso converge?

	Converge sim. Considere a série abaixo:

	S(1)=sqrt(1)
	S(2)=sqrt(1+sqrt(2))
	S(3)=sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3)))

	... e assim por diante. Vou mostrar que essa série
é crescente e limitada superiormente, e portanto converge pra
algum canto.

	Pra isso vou usar uma série auxíliar A(i,j):

	j>i => A(i,j)=0
	j=i => A(i,j)=sqrt(i)
	j<i => A(i,j)=sqrt(j+A(i,j+1))

	Desse jeito, A(i,1)=S(i). Vou mostrar agora que
A(i,j)<A(i+1,j) quando j<=i, por indução em j. A base
de indução é para j=i. Suponha que A(i,i)>=A(i+1,i). Então:

	A(i,i)=sqrt(i)
	A(i+1,i+1)=sqrt(i+1)
	A(i+1,i)=sqrt(i+sqrt(i+1))

	sqrt(i)>=sqrt(i+sqrt(i+1))
	
	Todos os termos são positivos, então:

	i>i+sqrt(i+1)
	0>=sqrt(i+1)
	
	...que é falso pra qualquer i. Base de indução
provada, agora o caso genérico. Supondo que A(i,n+1)<A(i+1,n+1),
vamos tentar mostrar que A(i,n)<A(i+1,n). Suponha essa
última falsa, então teríamos:

	A(i,n)>=A(i+1,n)
	sqrt(n+A(i,n+1))>=sqrt(n+1+A(i+1,n+1))
	n+A(i,n+1)>=n+1+A(i+1,n+1)
	A(i,n+1)>=1+A(i+1,n+1)

	...que também é falsa pela hipótese de indução.
Então está fechada a demonstração que A(i,j)<A(i+1,j)
quando j<i. Em especial, quando j=1, então A(i,1)<A(i+1,1),
portanto S(i)<S(i+1) e a série é crescente.

	Agora vou mostrar que A(i,j)<=j+1, por indução em j.
	A base é pra j=i:

	A(i,i)<=i+1
	sqrt(i)<=i+1
	i <= (i+1)^2
	i <= i^2 + 2i + 1
	0 <= i^2 + i + 1
	
	Essa parábola está sempre acima do eixo, então a
proposição vale pra qualquer i positivo. Agora a indução,
suponha A(i,n+1)<=n+2, vamos ver A(i,n):

	A(i,n)=sqrt(n+A(i,n+1))
	A(i,n)^2=n+A(i,n+1)
	A(i,n+1)=A(i,n)^2-n <= n+2
	A(i,n)^2 <= 2n+2
	A(i,n) <= sqrt(2n+2)

	Basta mostrar agora que sqrt(2n+2)<=n+1:

	sqrt(2n+2)<=n+1
	2n+2<=(n+1)^2
	2n+2<=n^2+2n+1
	0<=n^2-1

	Ou seja, a afirmação é verdadeira pra todo n>=1,
o que completa a indução. Por fim, se vale que A(i,j)<=j+1
para todo j>=1, então, em especial, pra j=1 temos
A(i,1)<=2, e daí segue que S(i)<=2 pra todo i, e portanto
a série é limitada superiormente. Como ela é limitada e
crescente, então é convergente.

	De curiosidade, eu calculei numericamente, o valor
da coisa toda é aproximadamente 1.757933. Mas eu não sei
explicitar o valor, aliás nem sei se é algébrico.

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
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