| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 5 Oct 2004 12:09:13 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] SEQÜÊNCIA DOS DIVISORES POSITIVOS |
> Olá, pessoal.
>
> Já que estão falando sobre divisores, vejamos o seguinte:
> Seja N um número natural com uma quantidade ímpar de divisores positivos. Então N é quadrado perfeito, OK? Agora duas perguntas:
>
> 1) Ordenando crescentemente esses divisores de N, o termo que ocupa o lugar central é sempre igual a raiz quadrada de N?
>
Sim, pois a cada divisor d < raiz(n), podemos associar o divisor n/d > raiz(n).
Sobra o raiz(n) bem no meio.
> 2) Quando N possui apenas um fator primo, seus divisores formam uma PG cuja razão é o próprio fator primo. Pórém, quando isso não acontece, a razão entre um termo e seu antecessor não é contante. Apesar disso, há uma repetição dessas razões.
Tome uma sequência de primos p1 < p2 < ... < pr tal que:
p3 > p1*p2
p4 > p1*p2*p3
...
pr > p1*p2*p3*...*p(r-1)
Considere n = p1*p2*...*pr.
As diferentes razões que aparecem serão:
p1, p2/p1, p3/(p1*p2), p4/(p1*p2*p3), ..., pr/(p1*p2*...p(r-1))
Ou seja, dado um inteiro positivo r qualquer, podemos sempre achar um n tal que a sequência das razões dos divisores possui pelo menos r termos distintos.
É claro que isso não quer dizer que não existe algum padrão escondido que eu não percebi...
[]s,
Claudio.