Re: [obm-l] sutileza, o retorno

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Oct 02, 2004 at 02:18:43AM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
> Falando em absurdos matemáticos, eu conheço um site 
> muito bom que tem alguns destes absurdos. Vou colocar 
> uma aqui :
> 
> Seja S a soma dos termos infinitos de uma PG de 
> números estritamente positivos com razão 2 e a_1=1.
> 
> S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) => a partir do a2, 
> todos os termos são múltiplos de 2.
> 
> Se colocarmos o 2 em evidência, teremos:
> 
> S = 1 + 2 . ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ) => como 
> S = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ), temos:
> 
> S = 1 + 2.S
> S - 2.S = 1
> 
> S = - 1
> 
> Pergunta: por que o argumento é inválido ?

Se é que *é* inválida.

É claro que a série 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... diverge no sentido usual.
Em algumas áreas existe muito interesse, entretanto, em definições
mais amplas de soma de uma série. Uma tal definição é via prolongamento
analítico, que dá exatamente a resposta que você obteve e o seu argumento
é quase uma demonstração. Transforme a sua série em uma série de potências:
f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ... = 1/(1-2x) para |x| < 1/2.
Infelizmente, a série não converge em x = 1; podemos fazer
o prolongamento analítico e teremos um único polo em x = 1/2.
O valor de f(1) é de fato -1.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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