Re: [obm-l] inteiros

["Edward Elric" <edwardelric666@xxxxxxxxxxx>]

Fernando vc acabou demonstrando tb que K^5 - k e multiplo de 10, pois vc 
demonstrou que o algarismo das unidades e igual ao de algarismo das unidades 
de k, quando vc subtrair o novo algarismo vai ser 0.


>From: Fernando Aires <fernandoaires@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] inteiros
>Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300
>
>Hermann,
>
>    Eu tenho uma idéia:
>
>    Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
>depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
>das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
>cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).
>
>    Para o número x=ABC...N0:
>    ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N1:
>    ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N2:
>    ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N3:
>    ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N4:
>    ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N5:
>    ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N6:
>    ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N7:
>    ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N8:
>    ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    Para o número x=ABC...N9:
>    ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
>    A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3)
>    A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = 
>x^5)
>
>    (C.Q.D.)
>
>    Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida.
>    (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10)
>
>Beijos,
>
>--
>-><-
>Fernando Aires
>fernandoaires@gmail.com
>"Em tudo Amar e Servir"
>-><-
>
>On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
><ilhadepaqueta@bol.com.br> wrote:
> > Por favor...
> > Como demonstro o seguinte:
> >
> > Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das 
>unidades.
> >
> > TEntei fazer por indução empaquei.
> > Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
> >
> > espero que alguém da lista saiba
> > Obrigado,
> > Hermann
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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