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Fábio, mais uma vez, pensaremos
geometricamente:
Imagine que a, b, c, d,
e sejam segmentos de reta contidos em outro segmento de reta, cujo
comprimento é a+b+c+d+e=8. Poderemos, então, construir quadrados de
áreas, respectivamente, a^2, b^2, c^2, d^2, e^2, cuja a soma será 16.
Bem, o problema pede que e seja máximo, portanto, a soma das outras
áreas tem que ser mínima (para uma soma fixa dos outros segmentos). Mas, em que
caso, esta soma é mínima? Quando os segmentos são iguais!* Logo, o problema se
resume nisto: se a=b=c=d, teremos substituindo nas duas equações do
enunciado, 4a+e=8, 4a^2+e^2=16. Eureka! Um sistema de duas equações e
duas incógnitas! O que resulta em e=3,2.
(*) Bem, primeiro, faça alguns desenhos para
verificar isto intuitivamente. Depois, tente provar inicialmente para apenas
dois segmentos. Encontre a soma das áreas em função de um dos
segmentos, assim: S=a^2+(k-a)^2, onde k é o valor fixo da soma dos
segmentos. Agora é só achar a abscissa do vértice desta parábola ou
use derivada, como quiser... Talvez por indução, saia a prova para qualquer
número de segmentos....
Fui claro???
se não fui, desculpe.
Valeu.
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