Re: [obm-l] outra do bartle

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Niski,
Se, k = max {|x[1]|, .. |x[p])}, entao  (|x[1]| + ... + |x[p]|) <= p*k.
Por outro lado, sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) >= sqrt(k^2) = k >= 1/p *
((|x[1]| + ... + |x[p]|).
Alem disto, eh facil ver que  (x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= (|x[1]| + ... +
|x[p]|)^2, de modo que sqrt(x[1])^2 + ... + (x[p])^2 <= x[1]| + ... +
|x[p]|). 
Logo, (1/p)*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= 
(|x[1]| + ... + |x[p]|), ou seja, as constantes a= 1/p e b=1 satisfazem ao
desejado.
Artur




--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] outra do bartle
Data: 12/08/04 21:40

[...espero que essa nao se degenere para futebol de segunda]

A questão é a seguinte:
Mostrar que existe constantes positivas a e b, tais que
a*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= 
b*(|x[1]| + ... + |x[p]|)

E achar a maior constante a e a menor constante b com essa propriedade.

Bom pessoal...gostaria de ver uma solucao para o problema...acho que 
conheco as peças do problema mas nao consigo monta-las direito...nao to 
conseguindo argumentar de forma matematicamente coerente..eu acho..


sei que...
sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2) <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}
e
((|x[1]| + ... + |x[p]|)) <= p*sup{|x[1]|, ..., |x[p]|}

são validas as seguintes equivalencias?

a*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt((x[1])^2 + ... + (x[p])^2)
a*(|x[1]| + ... + |x[p]|) <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}
a <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}/(|x[1]| + ... + |x[p]|) (*)
a <= sqrt(p)*sup{|x[1]|,...,|x[p]|}/p*sup{|x[1]|, ..., |x[p]|} (**)
a <= sqrt(p)/p

estou incerto principalmente quanto as passagens marcadas com as 
estrelinhas.

isso mostra automaticamente que existe a tal constante?
a maior basta tomar a igualdade, sqrt(p)/p ou 1/sqrt(p)

Como achar b?

Muito obrigado.
-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

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