Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur.

Eu acho que quando estava escrito |f(x)| era para ser interpretado como, 
usando a sua notac~ao f=(f1, f2, ,...,  fn)
(f1^2 + f2^2 + ... + fn^2)^(1/2).

A'i eu acho que a an'alise da quest~ao 'e mais complicada, mas (se eu n~ao 
me engano, estudei isso h'a muito tempo atr'as) deve decorrer do teorema 
do posto para fun'c~oes diferenci'aveis, pois a imagem tem dimens~ao menor 
do que o dom'inio, logo o posto da matriz jacobiana 'e (n-1), logo seu 
determinante 'e zero.

Bernardo

On Fri, 6 Aug 2004, Artur Costa Steiner wrote:

> Temos que f = (f1,....fm), onde as f_is sao as funcoes coordenadas de U em R
> que compoem f. A diferenciabilidade de f implica que todos esta funcoes
> cooordenadas tambem sejam diferenciaveis, logo continuas.
> Consideremos a funcao f1. Por ser diferenciavel em U, f1 eh continua neste
> conjunto. Se f1 for estritamente positiva em U, entao |f1| = f1 eh f1 eh
> constante m U. Logo todas suas derivadas parciais se anulam em U.
> Se f1 for estritamente negativa em U, entao f1 = -|f1| e mais uma vez
> concluimos que f1 eh constante e tem derivadas parciais nulas.
> Se f1 se anular em algum u de U, entao a contuinuidade de |f1| - que decorre
> automaticamente da continuidade de f1 - implica que f(u) = 0, o que, em
> virtude das condicoes dadas, implica que f seja identicamente nula em U.
> Logo, tambem neste caso f1 tem derivadas parciais identicamente nulas
> Como igual raciocinio vale para todas as  f_is, segue-se que o Jacobiano eh
> identicamente nulo.
> Eu acho que para estas conclusoes basata ssumir continuidade de f em U,
> estah me parecendo que nao eh preciso assumir difereciabilidade.
> Artur
> 
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] análise
> Data: 04/08/04 09:09
> 
> 
> Gostaria de uma ajuda no prob. abaixo:
> 
> Seja f:U --> R^n dif. no aberto U de R^m. Se |f(x)| é constante quando x
> varia em U, então o determinante jacobiano de f identicamente nulo.
> 
> Grato, Éder.
> 
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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