[obm-l] Re: [obm-l] análise

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Temos que f = (f1,....fm), onde as f_is sao as funcoes coordenadas de U em R
que compoem f. A diferenciabilidade de f implica que todos esta funcoes
cooordenadas tambem sejam diferenciaveis, logo continuas.
Consideremos a funcao f1. Por ser diferenciavel em U, f1 eh continua neste
conjunto. Se f1 for estritamente positiva em U, entao |f1| = f1 eh f1 eh
constante m U. Logo todas suas derivadas parciais se anulam em U.
Se f1 for estritamente negativa em U, entao f1 = -|f1| e mais uma vez
concluimos que f1 eh constante e tem derivadas parciais nulas.
Se f1 se anular em algum u de U, entao a contuinuidade de |f1| - que decorre
automaticamente da continuidade de f1 - implica que f(u) = 0, o que, em
virtude das condicoes dadas, implica que f seja identicamente nula em U.
Logo, tambem neste caso f1 tem derivadas parciais identicamente nulas
Como igual raciocinio vale para todas as  f_is, segue-se que o Jacobiano eh
identicamente nulo.
Eu acho que para estas conclusoes basata ssumir continuidade de f em U,
estah me parecendo que nao eh preciso assumir difereciabilidade.
Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] análise
Data: 04/08/04 09:09


Gostaria de uma ajuda no prob. abaixo:

Seja f:U --> R^n dif. no aberto U de R^m. Se |f(x)| é constante quando x
varia em U, então o determinante jacobiano de f identicamente nulo.

Grato, Éder.


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