Re: [obm-l] IMO - 2o DIA

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> 4. Sejam t1, t2, ..., tn numeros reais positivos tais  que 
> (t1+t2+...+tn)(1/t1 + 1/t2 + 1/tn) < n^2 + 1. Mostre que todas as 
> triplas da forma (ti, tj, tk) formam lados de triangulo.

Não quis ver sua resposta ainda (espero que não seja nada muito parecido 
ao que você já mandou), mas parece que dá pra provar algo mais forte do 
que é pedido...

Fixe um S > 0. Se t_1 + ... + t_n = S, qual o menor valor possível para
(t_1 + ... + t_n)(1/t_1 + ... + 1/t_n) ?

Podemos minimizar 1/t_1 + ... + 1/t_n sujeito a t_1 + ... + t_n = S e 
t_i > 0.
Por Lagrange, temos que o mínimo ocorre quando t_1 = t_2 = ... = t_n = S/n.
Então esse mínimo é 1/(S/n) + ... + 1/(S/n) = n^2/S.
t_1 + ... + t_n = S e o menor valor possível para
1/t_1 + ... + 1/t_n = n^2/S, logo o menor valor possível para
(t_1 + ... + t_n)(1/t_1 + ... + 1/t_n) é n^2 e isso ocorre somente 
quando t_1 = ... = t_n... como estamos limitados superiormente em n^2+1 
é de se esperar que o desvio padrão dos t_i's seja muito pequeno (o que 
é uma condição mais forte do que a enunciada, daria pra falar que os
triângulos são quase equiláteros).

O caso n = 3 sai sem problemas, mas não vou colocar minha aqui.

[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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