Re: [obm-l] OBM - 1997

[Faelccmm@xxxxxxx]

Mas este problema eh da OBM-1997 e neste ano nem existia o nivel universitario, logo deve haver uma solucao envolvendo assuntos de ensino medio (como logaritmos, por exemplo) e nao assuntos de nivel superior (como o teorema de Rolle) 




Em uma mensagem de 27/6/2004 12:05:57 Hora padrão leste da Am. Sul, marciocohen@superig.com.br escreveu:


>     É bem simples formalizar que essa equação só tem uma raiz negativa (2^x - x^2 eh crescente e vem de -oo até 1), mas nao eh tao obvio assim a formalizacao de que no total só temos tres raizes. Uma maneira eh a q se segue:
>     Seja f(x) = 2^x - x^2.  Como f(-1) = 1/2 - 1 < 0 e f(0) = 1 > 0, f tem ao menos uma raiz em (-1,0). Alem disso, f(2)=f(4)=0, logo f tem pelo menos 3 raizes.
>     Suponha por absurdo que f tenha pelo menos 4 raizes reais x1,x2,x3,x4. Pelo teorema de Rolle, f'(x) tem ao menos 3 raizes reais (em (x1,x2),(x2,x3),(x3,x4)). Analogamente, o teorema de Rolle garante que f" tem ao menos 2 raizes reais e portanto f"'(x) tem pelo menos uma raiz real. 
>     Mas f"'(x) = (2^x)*(ln2)^3 = 0 implica 2^x = 0, o que eh absurdo.
>     []s
>  
> ----- Original Message ----- 
>
> > From: Rafael 
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > Sent: Sunday, June 27, 2004 12:53 AM
> > Subject: Re: [obm-l] OBM - 1997
> >
> >
> > O jeito mais fácil de se resolver essa equação é graficamente.
> >  
> > As soluções são x = - 0,7666... ou x = 2 ou x = 4.
> >  
> >  
> >
> > > ----- Original Message ----- 
> > > From: Faelccmm@aol.com 
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > Sent: Sunday, June 27, 2004 12:11 AM
> > > Subject: [obm-l] OBM - 1997
> > >
> > >
> > > Ola pessoal 
> > >
> > > O numero de solucoes reais da equacao x^2 = 2^x eh: 
> > >
> > > a)0 
> > > b)1 
> > > c)2 
> > > d)3 
> > > e)4