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É bem simples formalizar que
essa equação só tem uma raiz negativa (2^x - x^2 eh crescente e vem de -oo até
1), mas nao eh tao obvio assim a formalizacao de que no total só temos tres
raizes. Uma maneira eh a q se segue:
Seja f(x) = 2^x - x^2.
Como f(-1) = 1/2 - 1 < 0 e f(0) = 1 > 0, f tem ao menos uma raiz em
(-1,0). Alem disso, f(2)=f(4)=0, logo f tem pelo menos 3 raizes.
Suponha por absurdo que f tenha
pelo menos 4 raizes reais x1,x2,x3,x4. Pelo teorema de Rolle, f'(x) tem ao menos
3 raizes reais (em (x1,x2),(x2,x3),(x3,x4)). Analogamente, o teorema de Rolle
garante que f" tem ao menos 2 raizes reais e portanto f"'(x) tem pelo menos uma
raiz real.
Mas f"'(x) = (2^x)*(ln2)^3 = 0
implica 2^x = 0, o que eh absurdo.
[]s
----- Original Message -----
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