Oi, Paulo:
Obrigado pela dica. Eu não imaginava que fosse existir um exemplo tão pequeno assim! Faltou trabalhar um pouco...
Eu acho mais fácil raciocinar com i, j e k, de modo que o grupo dos quaternios é:
Q = {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} sujeitos a i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, ikj = 1.
Como |Q| = 8, os subgrupos tem que ter ordem 1, 2, 4 ou 8.
Ordens 1 e 8 são triviais: {1} e Q, respectivamente, ambos normais.
Ordem 4 também é fácil: todo subgrupo de índice 2 é normal.
Ordem 2: o único subgrupo é {1,-1}, pois se i, j ou k pertencesse ao subgrupo, então -1 também pertenceria (pois -1 = i^2 = j^2 = k^2), de modo que já teríamos pelo menos 3 elementos no subgrupo: 1, -1 e i (ou j ou k).
Mas, se g é qualquer elemento de Q, é claro que:
g*{1,-1} = {g,-g} = {1,-1}*g ==> {1,-1} é normal em Q.
Bem legal. Aprendi algo novo.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 24 Jun 2004 17:56:29 +0000 |
| Assunto: |
RE: [obm-l] Subgrupos normais |
> Oi Caro Claudio,
>
> Procure informacoes sobre o grupo dos quaternios. Aqui vai a definicao deles
> :
>
> |Qn|=2^n, Qn =, x^(2^(n-1))=e, y^2=x^(2^(n-2)) e
> y*x=[x^((2^(n-1))-1)]*b
>
> Note que, a menos de isomorfismos, estas relacoes caracterizam univocamente
> este
> grupo.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 5,1449,240604
>
> >From: "claudio.buffara"
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm-l"
> >Subject: [obm-l] Subgrupos normais
> >Date: Thu, 24 Jun 2004 13:48:14 -0300
> >
> >Oi, pessoal:
> >
> >Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam
> >todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel)
> >
> >[]s,
> >Claudio.
>
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