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[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>
Date: Thu, 24 Jun 2004 16:56:44 +0000
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Oi Claudio,

Se eu nao citei abeliano, foi esquecimento. O Teorema de Cauchy e assim:

"Seja G um grupo FINITO e ABELIANO. Se p e um primo que divide a ordem de G
entao existe um elemento g de G de ordem p".

Esta sua demonstracao ai embaixo e a do Kummer.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1356,240604

>From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Re:[obm-l]  RE: [obm-l] Dúvida
>Date: Thu, 24 Jun 2004 12:43:59 -0300
>
>Oi, Paulo:
>
>Acho que esta sua demonstracao do teorema de Cauchy soh eh valida se G for 
>abeliano, pois no fim, quando voce fala na projecao canonica p: G -> G/H, 
>voce estah implicitamente supondo que G/H eh um grupo e, portanto, que H eh 
>um subgrupo normal de G. Mas isso soh eh verdade para todo H se G for 
>abeliano.
>
>Por outro lado, existe uma demonstracao desse teorema que eh um dos meus 
>exemplos favoritos de beleza matematica:
>
>Seja G um grupo e p um primo que divide |G|.
>
>Considere todos os produtos da forma x_1*x_2*...*x_p que sao iguais a "e", 
>onde os x_i sao elementos nao necessariamente distintos de G.
>
>Eh facil ver que existem |G|^(p-1) tais produtos pois, escolhendo-se 
>livremente os valores de x_1, x_2, ..., x_(p-1), o valor de x_p fica 
>unicamente determinado (igual ao inverso de x_1*x_2*...*x_(p-1))
>
>Agora vamos dividir estes |G|^(p-1) produtos em classes de equivalencia de 
>forma que dois produtos pertencem a uma mesma classe se e somente se um 
>deles for uma permutacao circular do outro. Teremos dois casos a 
>considerar:
>
>Caso 1: todos os x_i sao iguais.
>Nesse caso, a classe vai conter apenas um produto, pois x_1*x_2*...*x_p = 
>a*a*...*a e existe apenas uma permutacao dos x_i.
>
>Caso 2: pelo menos dois dos x_i sao distintos.
>Nesse caso, a classe vai conter exatamente p produtos:
>x_1*x_2*...*x_(p-1)*x_p;
>x_2*x_3*... x_p*x_1;
>x_3*x_4*...*x_1*x_2;
>...
>x_p*x_1*...x_(p-1)*x_(p-1).
>
>Sejam N1 e N2 os numeros de classes de equivalencia de cada tipo.
>Entao, teremos que:
>numero de produtos =  1*N1 + p*N2 = |G|^(p-1).
>
>Por hipotese, p | |G|^(p-1) e obviamente p | p*N2.
>Logo, p | N1.
>
>Alem disso, o produto e*e*...*e obviamente eh do tipo 1, de modo que N1 > 
>0.
>
>Ou seja, o numero N1 de produtos da forma a*a*...*a = a^p = e eh um 
>multiplo positivo de p.
>Em outras palavras, existem pelo menos p-1 elementos em G de ordem p.
>Naturalmente, se a eh um tal elemento, entao <a>, o subgrupo ciclico gerado 
>por a, terah ordem p.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Cópia:
>
>Data:Thu, 24 Jun 2004 14:20:38 +0000
>
>Assunto:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
>
>
>
> > Ola Eder,
> >
> > Ok !
> >
> > Vamos fazer o seguinte. Vou provar um resultado classico que voce podera
> > usar na solucao.
> >
> > TEOREMA DE CAUCHY : Se G e um grupo finito e "p" e um numero primo que
> > divide
> > a ordem de G entao existe um elemento "g" de G de ordem "p".
> >
> > PROVA : Vamos usar inducao sobre a ordem de G. Mais especificamente 
>vamos
> > mostrar que
> > ( HIPOTESE DE INDUCAO ) se todos os grupos com ordem menor que G 
>satisfazem
> > o TEOREMA DE CAUCHY entao G satisfaz o TEOREMA DE CAUCHY.
> >
> > 1) Se a ordem de G for um numero primo, |G| = p, entao a prova e trivial 
>e
> > nem precisamos usar a hipotese de inducao, pois "p" sera o unico numero
> > primo que pode dividir a ordem de G e se "g"
> > for um elemento de G entao, pelo teorema de Lagrange, divide |G|, isto
> > e, a ordem de
> > "g" e "p". Assim, nao so um, mas todos os elementos de G ( com excecao 
>da
> > identidade ) tem
> > ordem "p"
> >
> > 2) Se ordem de G nao for um numero primo, seja "p" um numero primo que
> > divide a ordem de G.
> > Tomando um elemento "g" pertencente a G, "g" diferente de "e", considere 
>o
> > subgrupo de G : H=. Existem duas possibilidades para H :
> >
> > PRIMEIRA : H e igual a G. Neste caso, G e ciclico com G=. Seja N=|G| e
> > considere o elemento g^(N/p). Claramente que g^(N/p) pertence a G e 
>ordem de
> > g^(N/p) e "p". Assim,
> > G tem um elemento de ordem "p" e acabou.
> >
> > SEGUNDA : H e diferente de G. Neste caso |H| < |G|.
> >
> > Se "p" divide |H|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe "h" pertencente a H 
>tal
> > que ordem de "h" e "p". Como H e subconjunto de G segue que "h" e tambem
> > elmento de G e, portanto, G tem um elemento de ordem "p" e acabou.
> >
> > Se "p" nao divide |H| ( mas "p" divide |G|, por hipotese ), pelo teorema 
>de
> > Lagrange |G|=|H|(G:H) teremos que "p" divide (G:H), isto e, "p" divide o
> > indice de H em G. Como (G:H) =| G/H | e
> > G/H| < |G|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe um h_ ( h barra ) em G/H de
> > ordem "p".
> >
> > Considere a projecao canonica :
> >
> > p : G -> G/H
> >
> > Sabemos que trata-se de um homomorfismo e que em todo homomorfismo a 
>ORDEM
> > DA IMAGEM DE UM ELEMENTO DIVIDE A ORDEM DO ELEMENTO, isto e, |h_| divide 
>|h|
> > para algum "h" em G. Como |h_| = p => |h| = kp, para algum k inteiro.
> > Considere o elemento h^k. Claramente que h^k pertence a G e | h^k | = p.
> > Assim, G tem um elemento de ordem "p".
> >
> > Vemo que a hipotese de inducao vale ( por vacuidade ) para as ordem 1 e
> > tambem para a
> > ordem 2. Segue - pelo que vimos acima - que vale para todas as ordens.
> >
> > Um Abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 5,1117,240604
> >
> > >From: Lista OBM
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
> > >Date: Thu, 24 Jun 2004 10:08:22 -0300 (ART)
> > >
> > >Meu caro Paulo, entendi sua solução, o prblema que esse exercício
> > >encontra-se na seção de um >livro onde ainda não tem esse resultado que
> > >você usou. Você não conhece outra forma de >resolver esse esxercício.
> > >
> > >Grato pela solução, Éder.
> >
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