| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Sat, 19 Jun 2004 22:29:40 -0300 (ART) |
| Assunto: |
[obm-l] Ajuda em Algebra - URGENTE!!!!! |
> 1-Porque todo corpo é um Dominio de Fatoraçao Unica?E
> a reciproca?
>
Num corpo, todo elemento nao nulo eh inversivel. Logo, um corpo nao possui elementos irredutiveis.
Um DFU eh um dominio de integridade onde todos os elementos nao-inversiveis e diferentes de zero se decompoe (fatora), de forma unica (a menos de ordem e multiplicacao por inversiveis), num produto finito de elementos irredutiveis.
Como um corpo nao possui irredutiveis, a definicao se aplica por vacuidade (mais ou menos da mesma forma que eh verdade que o conjunto vazio eh subconjunto de qualquer conjunto).
A reciproca nao vale. Exemplo: Z eh um DFU que nao eh corpo.
> 2-Demonstre que se A é dominio de integridade e c um
> irredutivel em A entao A[t] não é dominio de Ideais
> principais.Com isso conclua que Z nao é DIP.(O que
> isso tem haver com MDC???)
>
Z eh DIP sim. Acho que voce quer dizer Z[t], que realmente nao eh DIP.
Se A eh um dominio de integridade que contem um irredutivel c, entao, o ideal (t - 1,c) do dominio A[t] nao eh principal. Por exemplo, veja o problema que o Joao Paulo mandou ontem pra lista.
>
> 3-Eu estou com erro de interpretaçao e preciso de
> esclarecimentos, leia abaixo:
>
> Teorema 1:Em um Dominio todo primo é irredutivel.
>
> Dominio de Fatoraçao Unica(DFU):
> Existencia(Extc):Todo elemento nao invertivel se
> fatora em um produto finito de irredutiveis.
> Unicidade(Uncd):A fatoraçao em irredutiveis é unica, a
> menos da ordem da ordem dos irredutiveis e dos
> associados.
>
> Afirmaçao:Em um dominio Teorema 1 e Uncd são
> equivalentes.
>
> Minha interpretaçao:
> Com a Afirmaçao, dado um Dominio D, como o Teorema 1 é
> verdadeiro para todo dominio, para mostrar que D é
> DFU, bastaria mostrar Extc.
>
> No que estou errado???
>
A interpretacao estah correta, mas a afirmacao estah errada.
A afirmacao correta eh:
Num dominio, todo irredutivel eh primo <==> Uncd eh verdade.
[]s,
Claudio.