[obm-l] |sen(n)|^(1/n)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Sabemos que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x_n = sen(n) eh
o intervalo [-1,1].

Alem disso, o Gugu demonstrou, ha algum tempo, que o conjunto dos valores de
aderencia de y_n = sen(n)^n eh {-1,0,1}.

E quanto a sequencia z_n = |sen(n)|^(1/n)?

Eu acho que z_n converge para 1, pois mesmo no caso das subsequencias de
|sen(n)| que convergem pra 0, a raiz n-esima consegue "puxa-las" para 1.

Gostaria dos comentarios de voces sobre o meu argumento abaixo.

---

Pi eh irracional. Logo, existe uma sequencia de pares de inteiros (p_n,q_n)
tais que q_1 = 1 e para n >= 2:
q_n = menor inteiro > q_(n-1), para o qual existe algum inteiro p_n que
satisfaca:
0 < |Pi - p_n/q_n| < 1/(q_n)^2 <==> 0 < |q_n*Pi - p_n| < 1/q_n.

Tomando n = 1, 2, 3, ..., a sequencia dos p_n vai se aproximar cada vez mais
dos correspondentes Pi*q_n. Para essa sequencia, vale sen(p_n) -> 0.

Alem disso, a sequencia (p_n) estah unicamente determinada, ou seja, para
cada q_n, existe exatamente um p_n que satisfaz as desigualdades acima. Alem
disso, dada a forma (exaustiva) como os q_n foram definidos, qualquer
subsequencia de sen(n) que converge para 0 vai ter que ser, a partir de
algum ponto, uma subsequencia de sen(p_n).

---

Por outro lado, Pi eh um numero diofantino. Isso implica que existe um
inteiro positivo r, tal que, quaisquer que sejam os inteiros positivos p e
q, |Pi - p/q| > 1/q^(r+1).
Assim, |Pi*q - p| > 1/q^r > 0 quaisquer que sejam p e q.

Como estamos interessados nos inteiros q = q_n e p = p_n, os quais
satisfazem: 0 < |q_n*Pi - p_n| < 1/q_n, teremos, necessariamente,
3 <= p_n/q_n <= 4 ==> 3q_n <= p_n <= 4q_n ==> 1/p_n <= 1/(3q_n).

Com estas restricoes, vale o seguinte:
1 > |sen(p_n)| = sen(|Pi*q_n - p_n|) > sen(1/q_n^r) >
(1/q_n^r)*(1 - (1/6)*(1/q_n^r)^2) = (6q_n^2 - 1)/(6q_n^3) > 0.

Logo,
1 > |sen(p_n)|^(1/p_n) > ((6q_n^2 - 1)/(6q_n^3))^(1/(3q_n)) -> 1,
quando n -> infinito.
 
Logo, para qualquer subsequencia de sen(n) que tende a 0, a subsequencia
correspondente de |sen(n)|^(1/n) tende a 1.

Eh claro que se alguma subsequencia de sen(n) -> a <> 0, entao, com mais
razao ainda, a subsequencia correspondente de |sen(n)|^(1/n) -> 1.

Em suma, lim |sen(n)|^(1/n) = 1.


[]s,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================