Re: [obm-l] supremo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] supremo

on 08.06.04 15:15, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Meu caro Cláudio,
> não entendi sua pergunta!!!
>
> Existem duas formas de interpretar o enunciado:
>
> Numa, as funcoes f e g sao dadas de antemao e queremos apenas calcular o supremo da imagem das funcoes  f - g  e  |f - g|.
>
> Na outra, queremos calcular o supremo do conjunto de todas as expressoes da forma f(x) - g(x) (ou |f(x) - g(x)|) com f e g sendo quaisquer funcoes de B(X;R) e x sendo qualquer elemento de x.
>
> Mas, de qualquer forma, nesse segundo caso, os supremos nao existem (ou seja, nao sao numeros reais. Dependendo da convencao que voce usa, voce poderia dizer que ambos sao iguais a +infinito, mas tem gente que nao gosta muito desse tipo de linguagem, jah que +infinito nao eh um numero real)
>
> Assim, acho mesmo que voce tinha em mente a primeira interpretacao.
>
> []s,
> Claudio.
>
> Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> > on 08.06.04 11:39, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:
> >
> > > Seja B(X;R) = {f: X --> R; f limitada}. Gostaria de saber se alguém sabe se existe alguma relação entre o
> > > | sup_{x em X}(f(x) - g(x)) | e o sup_{x em X}{| f(x) - g(x) |}, onde f e g estão em B(X;R).
> > >
> > > Obs.: (i) O símbolo "_" indica índice, por exemplo, x_{0} quer dizer x índice 0;
> > >         (ii) X é um subconjunto do conjunto dos reais (denotado por R);
> > >        (iii) As "{ }" não precedidas de "_" indica conjunto.
> > >
> > > Grato desde já, Éder.
> > >
> > > Oi, Eder:
> > >
> > > As funcoes f e g sao dadas ou os supremos sao calculados sobre todas as! f e g de B(X;R) alem de todos os x de X ?
> > >
> > >
> > > De qualquer forma, basta considerar a funcao h:X -> R dada por h(x) = f(x) - g(x), pois eh claro que se f e g pertencem a B(X;R) entao h tambem pertence.
> > >
> > > Assim, sejam:
> > > A = sup{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
> > > a = inf{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
> > > B = sup{|h(x)|   t.q.  x pertence a X   e   h a B(X;R)}.
> > >
> > > Queremos a relacao entre |A| e B.
> > >
> > > Se h for dada de antemao, entao vale |A| <= B.
> > >
> > > Nesse caso, basta mostrar que B = max{|A|,|a|}, o que eh consequencia das desigualdades:
> > > B >= |h(x)| >= max{h(x),-h(x)}.
> > > e do fato que, para qualquer subconjunto Y de R, vale:
> > > sup(-Y) = -inf(Y)  e  inf(-Y) = -sup(Y), onde -Y = {-y  t.q.  y pertence a Y}.
> > >
> > > Um exemplo onde vale a desigualdade estrita eh:
> > > X = [0,1]  e ! bsp;h(x) = 3x - 2.
> > > Nesse caso:
> > > A = 1, a = -2 e B = 2 > 1 = |A|.
> > >
> > > ***
> > >
> > > Por outro lado, se os supremos forem tomados sobre todas as funcoes de B(X;R), entao vale a igualdade, pois se a funcao f pertence a B(X;R), entao a funcao |f|, dada por |f|(x) = |f(x)| tambem pertence e, no caso de |f|, os dois supremos sao claramente iguais, pois a funcao toma apenas valores nao-negativos.
> > >
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.