Re: [obm-l] Continuidade - Exercício

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Continuidade - Exercício

on 08.06.04 14:44, Fellipe Rossi at felliperossi@superig.com.br wrote:

> Caros amigos da lista, espero que possam me ajudar ;)
>  
> QUESTÃO:
> Determine a e b para que f(x) seja contínua em R.
>  
> onde f(x)=
>  
> (e^ax - 1)(x^4 +2) , para x<0
> x^5 + 6x^3 + 9x
>  
> a*sen(x*pi) + b  para 0<=x<=1/2
>  
>       8x^3 - 4x^2 - 2x + 1     .  para x>1/2
> 4x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1
>  
> Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2 +1)
>  
> Assim, a+b = 8/5
>  
> Porém quando fui aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor vetou).
>  
> Será que alguem ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra maneira?
>  
> Ahh! a resposta é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5 ).
>  
> Agradeço desde já!
> Abraços,
> Rossi
>  
>  
> O que voce quer eh provar que lim(x->0) (e^(ax) - 1)/x = 1 sem usar L'Hopital.
>
> Soh que isso depende de como voce define a funcao exponencial.
>
> Por exemplo, uma forma eh definir a funcao log:(0,+infinito) -> R como sendo:
> log(x) = Integral(1..x) dt/t
> e depois provar que, para quaisquer x, y positivos, vale log(xy) = log(x) + log(y).
> Dai decorre que log eh uma bijecao infinitamente diferenciavel tal que:.
> log(1) = 0;
> existe um unico numero real, representado por e, tal que log(e) = 1; 
> log'(x) = 1/x para todo x > 0.
>
> Em seguida, definimos a funcao exp:R -> (0,+infinito) como sendo a inversa da log, de forma que exp(0) = 1, exp(1) = e, em geral, exp(x) = e^x.
>
> Finalmente, a derivada de exp em x = 0 eh igual a:
> exp'(0) = lim(h->0) (exp(0+h) - exp(0))/h = lim(h->0) (e^h - 1)/h.
>
> Mas, como, para todo x real vale log(exp(x)) = x, a regra da cadeia implica que, para todo x: log'(exp(x))*exp'(x) = 1 ==> (1/exp(x))*exp'(x) = 1 ==> exp'(x) = exp(x).
>
> Em particular, exp'(0) = exp(0) = 1, ou seja, lim(h->0) (e^h - 1)/h = 1
>
> Eh facil ver, a partir disso, que se a <> 0, entao lim(x->0) (e^(ax) - 1)/x = a, bastando apenas fazer a mudanca de variavel y = ax.
>
> []s,
> Claudio.