Re: [obm-l] Dúvida

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Dúvida

on 08.06.04 15:10, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
>  
> Sejam M,N e P espaços métricos. A aplicação f: MxN --> P depende apenas da primeira variável, i.e., f(x,y) = f(x,z), para quaisquer x em M e y,z em N. Defina g: M --> P pondo g(x) = f(x,y), para qualquer y em N. Mostre que g é contínua se, e só se, f é contínua.
>  
> Grato desde já, Éder.
>
>
> Seja P1: MxN -> M dada por P1(x,y) = x (funcao primeira projecao)
>
> Entao, podemos considerar que f = g o P1 (o = composicao)
>
> P1 eh continua: dado eps > 0 e (a,b) em MxN, qualquer ponto (x,y) dentro da bola aberta de centro (a,b) e raio eps serah tal que d(P1(x,y),P1(a,b)) = d(x,a) <= 
> d((x,y),(a,b)) < eps.
>  
> Como a composta de duas funcoes continuas eh continua, temos que se g eh continua, entao f eh continua.
>
> Suponhamos agora, que g seja descontinua no ponto a de M.
> Isso quer dizer que, existe um eps_0 > 0, tal que, para todo delta > 0, existe x em M tal que d(x,a) < delta  mas  d(g(x),g(a)) >= eps_0.
>
> Mas d(g(x),g(a)) = d(f(x,y),g(a,z)) para quaisquer y e z em N.
>
> Em particular, podemos fixar arbitrariamente b pertencente a N de modo que para todo delta > 0, existe (x,b) em MxN tal que:
> d((x,b),(a,b)) = d(x,a) < delta  mas  d(f(x,b),g(a,b)) >= eps_0, 
> o que implica que f eh descontinua em (a,b).
>
> []s,
> Claudio.