Re: [obm-l] função monótona

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Suponhamos que f seja naum decrescente. Se a eh um
ponto interior de J, entao o fato de f ser monotona
implica as existencias de um limite Le e de um limite
Ld de f aa esquerda e aa direita de a, com Le<=Ld.  Se
f for descontinua em a, entao Le<Ld. Como f(x)<=Le
para x<=a e f(x) >= Ld para x>=a, x em J, concluimos
que f(J) nao contem nenhum elemento de (Le, Ld). Mas
como a eh ponto interior de J, f eh definida em um
intervalo [a-e, a+e], com e>0, e para o qual
f(a-e)<=Le e f(a+e)>=Ld. Isto, porém, contraria a
hipotese de que f(J) seja um intervalo, mostrando que
f eh continua em a. 
Se a for ponto extremo de J, podemos aplicar o mesmo
argumento para a esquerda ou para a direita de a.
Se f naum for crescente, podemos aplicar um argumento
analogo, ou, entao, aplicar a conclusao jah obtida
para concluir que -f e, portanto, f, sao continuas em
J.

Talvez seja tambem possivel encontrat uma prova bonita
com base no fato de que o conjunto das
descontinuidades de f em J eh enumeravel.
Artur 


--- Lista OBM <obm_lista@yahoo.com.br> wrote:
> Gostaria que alguém me ajudasse com o problema
> abaixo:
> 
> Seja f: J --> R uma função monótona, definida no
> intervalo J. Se a 
>  
> imagem f(J) é um intervalo, prove que f é contínua.
>  
> Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não
> consegui!!!
>  
> Grato, Éder.
> 
> 
> 
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