Re: [obm-l] conjectura

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Shine:

Gostei dessa! Obrigado pelo contra-exemplo.

Alias, o problema original proposto pelo Eric era encontrar um real x tal
que [x^n] eh primo para n = 1, 2, ..., 9. De fato, ele pedia pra provar que
isso eh verdade para uma infinidade de reais x.

[]s,
Claudio.


on 06.06.04 20:24, Carlos Yuzo Shine at cyshine@yahoo.com wrote:

> Oi Claudio, infelizmente a sua conjectura ? falsa...
> 
> T?, vou descontar o caso em que x ? inteiro (x ?mpar
> j? d? errado!) e vou pensar em x irracional.
> 
> Considere x raiz de uma equa??o do segundo grau, por
> exemplo, x = 3+raiz(5). E considere a seq??ncia a_n =
> 6a_{n-1} - 4a_{n-2}, sendo a_0 = 2 e a_1 = 6. Pode-se
> provar que a_n = x^n + y^n, sendo y = 3-raiz(5) (de
> fato, como x^2 = 6x - 4 e y^2 = 6y - 4, x^n + y^n =
> 6(x^{n-1} + y^{n-1}) - 4(x^{n-2} + y^{n-2}), ou seja,
> x^n + y^n satisfaz a equa??o de recorr?ncia; como x^0
> + y^0 = 2 e x^1 + y^1 = 6, os valores iniciais
> coincidem e, de fato, a_n = x^n + y^n).
> 
> Veja que a_n ? par para todo n. Mas a_n = x^n + y^n.
> Como y = 3-raiz(5) ? positivo e menor que 1, 0 < y^n <
> 1 para n>0 e, portanto, como a_n ? inteiro, [x^n] =
> a_n - 1, que ? sempre ?mpar.
> 
> Agora, o problema original parece ser bem mais
> dif?cil...
> 
> []'s
> Shine
> 
> --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> wrote:
>> on 05.06.04 15:39, Eric at mathfire@ig.com.br wrote:
>> 
>>> Gostaria de saber se alguem da lista
>>> tem uma ideia para provar a seguinte
>>> 
>>> Conjectura: nao existe x real tal que
>>> [x^n] seja primo para todo inteiro
>>> positivo n.
>>> 
>>> Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado?
>>> 
>>> ( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n)
>>> 
>>> [ ]'s
>>> 
>>> Eric.
>>> 
>> Eu faco uma outra conjectura, um pouco mais forte:
>> Nao existe nenhum real x > 1 tal que
>> [x], [x^2], [x^3], ...
>> sao todos impares.
>> 
>> Essa conjectura implica a sua.
>> 
>> Sabe-se que, para todo x real, exceto por um
>> conjunto de medida nula, a
>> sequencia (a_n), dada por a_n = {x^n} = parte
>> fracionaria de x^n eh
>> uniformemente distribuida em [0,1].
>> 
>> Agora, tome x = N + r (N impar e 0 <= r < 1) para o
>> qual {x^n} seja U[0,1].
>> 
>> Se existir n tal que:
>> x^n = M + s (M impar e 0 <= s < 1)  e  1 <= rM + sx
>> < 2,
>> entao: x^(n+1) = x*x^n = (N + r)*(M + s) = MN + rM +
>> sx ==>
>> [x^(n+1)] = MN + 1 = par.
>> 
>> O fato de {x^n} ser U[0,1] torna isso plausivel
>> (pelo menos pra mim), mas
>> nao consegui formalizar uma demonstracao.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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