Re: [obm-l] Análise mat I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.06.04 21:56, kirchhoff at bruno_kir@ig.com.br wrote:

> poderiam me ajudar a provar?????
> 
> 33) Prove que não existe uma função contínua f:[a,b]->R, tal que
> f^-1(y)=vazio ou f^-1(y)tem exatamente 2 elementos.
> 
Imagino que voce queira dizer: nao existe funcao continua f:[a,b] -> R tal
que, PARA TODO y REAL, f^(-1)(y) = vazio ou f^(-1)(y) tem dois elementos.

[a,b] eh um intervalo compacto. Logo, como f eh continua em [a,b], f atinge
o seu valor maximo M e o seu valor minimo m, pelo menos uma vez.
Ou seja, f^(-1)(M) e f^(-1)(m) sao ambos nao-vazios.

Se um dos conjuntos f^(-1)(M) ou f^(-1)(m) nao tem exatamente 2 elementos,
entao acabou.

Suponhamos, portanto, que estes dois conjuntos tem, cada um, exatamente 2
elementos.

Naturalmente, estes 4 elementos sao distintos dois a dois, o que significa
que existem (pelo menos) dois que sao diferentes de a e b. Vamos chamar
estes 4 elementos de r, s, t, u, de forma que a <= r < s < t < u <= b.

Temos 2 casos a considerar:

Caso 1: s, t sao ambos pontos de maximo ou ambos pontos de minimo.

Suponhamos que ambos sejam de maximo, ou seja, f(s) = f(t) = M.
O caso em que ambos sao de minimo eh analogo.

Tomemos eps > 0 tal que s - eps < s + eps < t - eps < t + eps.
Sejam c = max{f(s-eps),f(s+eps),f(t-eps),f(t+eps)}  e  d = (c+M)/2.
Naturalmente, c < d < M.

Como f eh continua em cada um dos intervalos (s-eps,s), (s,s+eps), (t-eps,t)
e (t,t+eps), o teorema do valor intremediario garante que vao existir pontos
x1, x2, x3 e x4, um em cada um desses intervalos e tais que f(x1) = f(x2) =
f(x3) = f(x4) = d.

Como os intervalos sao dois a dois disjuntos, concluimos que f^(-1)(d) tem
pelo menos 4 elementos.

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Caso 2: um dentre s, t eh ponto de maximo e o outro eh de minimo.

Suponhamos que s seja ponto de minimo e t de maximo.
Suponhamos tambem que r seja ponto de minimo.
As outras combinacoes sao analogas.

Tomemos eps > 0 tal que r + eps < s - eps < s + eps.
Sejam c = min{f(r+eps),f(s-eps),f(s+eps)}  e  d = (m+c)/2.
Naturalmente, m < d < c.

Como f eh continua nos intervalos (r,r+eps), (s-eps,s) e (s,s+eps), o
teorema do valor intermediario garante que vao existir pontos x1, x2 e x3,
um em cada um desses intervalos e tais que f(x1) = f(x2) = f(x3) = d.

Como os intervalos sao dois a dois disjuntos, concluimos que f^(-1)(d) tem
pelo menos 3 elementos.

E acabou...Ufa!

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O excesso de casos da demonstracao acima me deixou com a sensacao de que
deve existir um argumento muito mais simples, que prova o teorema em duas
linhas.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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