Re: [obm-l] conjectura

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Claudio, infelizmente a sua conjectura é falsa...

Tá, vou descontar o caso em que x é inteiro (x ímpar
já dá errado!) e vou pensar em x irracional.

Considere x raiz de uma equação do segundo grau, por
exemplo, x = 3+raiz(5). E considere a seqüência a_n =
6a_{n-1} - 4a_{n-2}, sendo a_0 = 2 e a_1 = 6. Pode-se
provar que a_n = x^n + y^n, sendo y = 3-raiz(5) (de
fato, como x^2 = 6x - 4 e y^2 = 6y - 4, x^n + y^n =
6(x^{n-1} + y^{n-1}) - 4(x^{n-2} + y^{n-2}), ou seja,
x^n + y^n satisfaz a equação de recorrência; como x^0
+ y^0 = 2 e x^1 + y^1 = 6, os valores iniciais
coincidem e, de fato, a_n = x^n + y^n).

Veja que a_n é par para todo n. Mas a_n = x^n + y^n.
Como y = 3-raiz(5) é positivo e menor que 1, 0 < y^n <
1 para n>0 e, portanto, como a_n é inteiro, [x^n] =
a_n - 1, que é sempre ímpar.

Agora, o problema original parece ser bem mais
difícil...

[]'s
Shine

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> on 05.06.04 15:39, Eric at mathfire@ig.com.br wrote:
> 
> > Gostaria de saber se alguem da lista
> > tem uma ideia para provar a seguinte
> > 
> > Conjectura: nao existe x real tal que
> > [x^n] seja primo para todo inteiro
> > positivo n.
> > 
> > Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado?
> > 
> > ( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n)
> > 
> > [ ]'s
> > 
> > Eric.
> > 
> Eu faco uma outra conjectura, um pouco mais forte:
> Nao existe nenhum real x > 1 tal que
> [x], [x^2], [x^3], ...
> sao todos impares.
> 
> Essa conjectura implica a sua.
> 
> Sabe-se que, para todo x real, exceto por um
> conjunto de medida nula, a
> sequencia (a_n), dada por a_n = {x^n} = parte
> fracionaria de x^n eh
> uniformemente distribuida em [0,1].
> 
> Agora, tome x = N + r (N impar e 0 <= r < 1) para o
> qual {x^n} seja U[0,1].
> 
> Se existir n tal que:
> x^n = M + s (M impar e 0 <= s < 1)  e  1 <= rM + sx
> < 2,
> entao: x^(n+1) = x*x^n = (N + r)*(M + s) = MN + rM +
> sx ==>
> [x^(n+1)] = MN + 1 = par.
> 
> O fato de {x^n} ser U[0,1] torna isso plausivel
> (pelo menos pra mim), mas
> nao consegui formalizar uma demonstracao.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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