Re: [obm-l] Hipótese de Riemann

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.06.04 12:43, FabianoSutter@aol.com at FabianoSutter@aol.com wrote:

> Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma fórmula para descrever onde estão os
> primos. Envolve um certo grupo de números, que se encontram inseridos em um
> plano, e que correspondem a soluções que tornam uma equação igual a zero. São
> os zeros da função Zeta.
> Traduzindo a hipótese para a forma didática, sabemos que os números primos se
> encontram imersos no U = N, e quem se dispor a ceder uma organização desses
> números, estará em parte contribuindo para a validação da equação,ou para
> demonstração de falhas na mesma. Sabemos que a equação já foi testada até 10
> elev 23 e que a mesma pareceu eficiente, atendendo a função.
> Alguém consegue ceder uma explicação mais didática para tal função??
> Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se divide por 1 e
> por ele mesmo.
> Abraço para a lista.
> 
> 
A funcao zeta original, estudada por Euler, eh definida apenas para numeros
complexos com parte real > 1. A expressao da funcao eh a seguinte:
zeta(s) = SOMA(n>=1) 1/n^s  (Re(s) > 1).
Assim, por exemplo, temos que zeta(2) = Pi^2/6.

Pode-se provar que essa funcao eh analitica e, alem disso, pode ser
estendida, de forma unica, a uma funcao analitica definida em C - {1} (todo
o plano complexo, exceto o ponto s = 1). O trabalho de Riemann foi baseado
na funcao zeta estendida.

A hipotese de Riemann diz que todos os zeros com parte real positiva da
funcao zeta, assim estendida, tem parte real = 1/2. Hoje em dia, sabe-se que
todos os zeros com parte real positiva tem parte real entre 0 e 1, que eles
sao simetricamente dispostos em relacao a reta Re(s) = 1/2 (ou seja, se,
para 0 <= a <= 1, zeta(a + bi) = 0, entao zeta(1-a + bi) = 0) e que existe
uma infinidade de zeros com parte real = 1/2.

A conexao da funcao zeta com os primos eh evidenciada pela identidade:
SOMA(n>=1) 1/n^s = PRODUTO(p primo) (1 - 1/p^s)^(-1)
a qual expressa a igualdade entre dois limites quando Re(s) > 1.

Mesmo pra quem nao conhece limites, eh interessante tentar ver porque a
identidade acima faz sentido (dica: o lado direito eh um produtorio cujos
termos sao somas de PGs)

Pra quem tem interesse, o IME-USP vai oferecer um curso sobre a funcao zeta
no proximo semestre.

[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================