[obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Jun 06, 2004 at 11:43:46AM -0400, FabianoSutter@aol.com wrote:
> Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma fórmula para descrever onde estão os
> primos. Envolve um certo grupo de números, que se encontram inseridos em um
> plano, e que correspondem a soluções que tornam uma equação igual a zero. São
> os zeros da função Zeta.  Traduzindo a hipótese para a forma didática,
> sabemos que os números primos se encontram imersos no U = N, e quem se dispor
> a ceder uma organização desses números, estará em parte contribuindo para a
> validação da equação,ou para demonstração de falhas na mesma. Sabemos que a
> equação já foi testada até 10 elev 23 e que a mesma pareceu eficiente,
> atendendo a função.  Alguém consegue ceder uma explicação mais didática para
> tal função??  Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se
> divide por 1 e por ele mesmo.  Abraço para a lista.

Antes de mais nada acho muito inadequado você pedir "uma explicação
mais didática". A razão pela qual você pode ter dificuldades em
entender o enunciado da hipótese de Riemann não é a falta de didática
de quem explica, é o fato do assunto ser difícil e exigir um monte
de prérequisitos que você talvez não tenha.

Mas se você estiver pedindo uma formulação elementar para a hipótese
de Riemann eu posso ajudar. Defina a função de Möbius:
m(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos e 
m(n) = 0 se n for múltiplo do quadrado de algum primo.
Assim, por exemplo,

m(1) = 1, m(2) = -1, m(3) = -1, m(4) = 0, m(5) = -1, m(6) = 1, ...,
m(349823904823) = 1 (pois 349823904823 = 605933 * 577331), ...,
m(3492348923094823904823) = 0 (pois é múltiplo de 3^2), ..., 
m(3492523452348923094823904823) = 1
(pois 3492523452348923094823904823 = (3)*(71)*(443)*(571)*(2818643)*(22997457245249) ), ...

Defina f(n) = m(1) + m(2) + ... + m(n). Assim, por exemplo,
m(6) = 1 - 1 - 1 + 0 - 1 + 1 = -1.

Seja s > 1/2. A hipótese de Riemann diz que 

lim_{n -> infinito} f(n)/n^s = 0.

Tem mais coisa no livro "Primos de Mersenne...";
há uma versão online do livro na minha home page (www.mat.puc-rio.br/~nicolau)
e você pode comprar o livro (em papel) pelo Impa (www.impa.br).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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