[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
RE: [obm-l] o valor de x - continuacao

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: RE: [obm-l] o valor de x - continuacao
From: Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>
Date: Sun, 6 Jun 2004 08:18:51 -0300
In-Reply-To: <BCE625DE.573F%claudio.buffara@terra.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Thread-Index: AcRKT4W/ESpuS+7CRwyX2FcwDz4TXAAADHTQ
Olá Claudio,
	
	Se você analisar o seu questionamento original, você poderá concluir
que eu já havia o respondido. Veja a transcrição do seu questionamento
original abaixo.
"O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original."

	A resolução que eu apresentei justifica porque (1+raiz(17))/2 não
satisfaz a equação original na passagem destacada a seguir:
"x = [1 + sqr(17)]/2 (Não satisfaz, pois apesar de satisfazer a primeira
parte da condição geral 0 <= x <= 5 não satisfaz a segunda, pois pela
igualdade (ix) y = 1 - x => y = 1 - [1 + sqr(17)]/2 => y = [1 - sqr(17)]/2,
ou seja, y < 0.)"

	Agora, você está fazendo outro questionamento, ou seja:
"de onde vieram as tres raizes adicionais, especialmente a outra raiz
positiva." 

	Segue uma análise do motivo de termos encontrados as três raízes
adicionais, baseando-se num trecho da resolução que eu apresentei.


POSSÍVEL ANÁLISE DO MOTIVO DO SURGIMENTO DAS TRÊS RAÍZES ADICIONAIS:

	Segue um trecho da resolução que eu apresentei:

"Fazendo y = sqr(5 - x) (i), teremos:
x = sqr(5 - y) (ii)

Seguem as condições que permitem a equivalência das igualdades (i) e (ii)
mesmo após elevar ambos os membros ao quadrado.
Igualdade (i): y >= 0 e 5 - x >= 0 <=> x <= 5 (iii) Igualdade (ii): x >= 0 e
5 - y >= 0 <=> y <= 5 (iv)

Das condições (iii) e (iv), chegamos a uma condição geral:
0 <= x <= 5 e 0 <= y <= 5 (v).

Se for satisfeita a condição geral (v), poderemos elevar ambos os membros
das igualdades (i) e (ii), ou seja:
y^2 = 5 - x <=> y^2 + x = 5 (vi)
x^2 = 5 - y <=> x^2 + y = 5 (vii)

Aplicando a propriedade transitiva da igualdade em (vi) e (vii), teremos:
y^2 + x = x^2 + y <=> y^2 - x^2 - y + x = 0 <=> (y - x)(y + x) - (y - x) = 0
<=> (y - x)(y - x - 1) = 0 <=> y = x (viii) ou y = 1 - x (ix)"

	Neste trecho, dentre outras coisas, eu deduzi a condição geral que
deve ser satisfeita para que as raízes encontradas sejam realmente raízes da
equação original. Usando esta condição geral, eu eliminei as seguintes três
raízes durante o restante da resolução:
PRIMEIRA RAIZ ELIMINADA: x = [-1 - sqr(21)]/2
SEGUNDA RAIZ ELIMINADA: x = [1 - sqr(17)]/2
TERCEIRA RAIZ ELIMINADA: x = [1 + sqr(17)]/2

	A questão agora é explicar o motivo de termos encontrado estas três
raízes inválidas.

	Observe que ao elevar ambos os membros das igualdades (i) e (ii) e
obter as igualdades (vi) e (vii), nós acrescentamos novas possibilidades,
pois no campo dos reais a raiz quadrada aritmética somente está definida
para números reais não negativos, sendo que o resultado desta raiz também
deve ser um número real não negativo. Quando elevamos ambos os membros da
igualdade ao quadrado, nós podemos estar acrescentando soluções, uma vez que
o quadrado de um número real positivo é igual ao quadrado do seu simétrico
(oposto aditivo).

	Abaixo, eu apresento explicações detalhadas dos motivos pelos quais
as três raízes inválidas foram encontradas. Durantes as explicações, eu
utilizarei a fórmula de transformação de radicais duplos em radicais
simples, que eu demonstrei há algum tempo atrás.
O radical duplo sqr(A +/- sqr(B)), com A e B racionais pode ser transformado
em radical simples desde que C = sqr(A^2 - B) seja racional, sendo que a
transformação é dada pela fórmula: sqr[(A + C)/2] +/- sqr[(A - C)/2].


MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A PRIMEIRA RAIZ ELIMINADA: [-1 - sqr(21)]/2

x = [-1 - sqr(21)]/2
Esta solução foi obtida de (viii) y = x, logo: y = [-1 - sqr(21)]/2

Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), devemos ter:
(i) y = sqr(5 - x) => [-1 - sqr(21)]/2 = sqr{5 - [-1 - sqr(21)]/2} => [-1 -
sqr(21)]/2 = sqr{[11 + sqr(21)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y). Analogamente, devemos ter que: [-1 - sqr(21)]/2 =
sqr{[11 + sqr(21)]/2}

Observe que as duas igualdades idênticas não são válidas, pois o primeiro
membro é negativo e o segundo membro é positivo. Porém, se os números forem
simétricos (opostos aditivos), então ao elevarmos ambos os membros ao
quadrado a igualdade se tornará verdadeira. Transformando o radical duplo
sqr{[11 + sqr(21)]/2} = sqr[11/2 + sqr(21/4)] em radicais simples, podemos
comprovar a simetria dos números, conforme segue:
A = 11/2 e B = 21/4, logo: C = sqr(A^2 - B) = sqr[(11/2)^2 - 21/4] =
sqr(121/4 - 21/4) = sqr(100/4) = sqr(25) = 5.
Logo: sqr{[11 + sqr(21)]/2} = sqr[(A + C)/2] + sqr[(A - C)/2] = sqr[(11/2 +
5)/2] + sqr[(11/2 - 5)/2] = sqr(21/4) + sqr(1/4) = [1 + sqr(21)]/2.

Portanto: [-1 - sqr(21)]/2 = -[1 + sqr(21)]/2 != sqr{[11 + sqr(21)]/2} = [1
+ sqr(21)]/2, mas {[-1 - sqr(21)]/2}^2 = sqr{[11 + sqr(21)]/2}^2.


MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A SEGUNDA RAIZ ELIMINADA: [1 - sqr(17)]/2

x = [1 - sqr(17)]/2
Esta solução foi obtida de (ix) y = 1 - x, logo: y = [1 + sqr(17)]/2

Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), teremos:
(i) y = sqr(5 - x) => [1 + sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 - sqr(17)]/2} => [1 +
sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y) => [1 - sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 + sqr(17)]/2} => [1 -
sqr(17)]/2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}

Observe que a primeira igualdade deve ser válida, pois ambos os membros são
positivos, mas a segunda não é válida, pois o primeiro membro é negativo e o
segundo membro é positivo. Porém, se os números forem simétricos (opostos
aditivos) na segunda igualdade, então ao elevarmos ambos os membros ao
quadrado a igualdade se tornará verdadeira. Transformando o radical duplo
sqr{[9 +/- sqr(17)]/2} = sqr[9/2 +/- sqr(17/4)] em radicais simples,
teremos:
A = 9/2 e B = 17/4, logo: C = sqr(A^2 - B) = sqr[(9/2)^2 - 17/4] = sqr(81/4
- 17/4) = sqr(64/4) = sqr(16) = 4.
Logo: sqr{[9 +/- sqr(17)]/2} = sqr[(A + C)/2] +/- sqr[(A - C)/2] = sqr[(9/2
+ 4)/2] + sqr[(9/2 - 4)/2] = sqr(17/4) +/- sqr(1/4) = [sqr(17) +/- 1]/2.

Portanto, na igualdade (i) os membros são iguais e na igualdade (ii) os
membros são simétricos (opostos aditivos):
(i) [1 + sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2} = [sqr(17) + 1]/2
(ii) [1 - sqr(17)]/2 = -[sqr(17) - 1]/2 != sqr{[9 - sqr(17)]/2} = [sqr(17) -
1]/2, mas {[1 - sqr(17)]/2}^2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}^2.


MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A TERCEIRA RAIZ ELIMINADA: [1 + sqr(17)]/2

x = [1 + sqr(17)]/2
Esta solução foi obtida de (ix) y = 1 - x, logo: y = [1 - sqr(17)]/2

Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), teremos:
(i) y = sqr(5 - x) => [1 - sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 + sqr(17)]/2} => [1 -
sqr(17)]/2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y) => [1 + sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 - sqr(17)]/2} => [1 +
sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2}

A análise do motivo de termos encontrado a terceira raiz eliminada é
idêntica à análise do motivo de termos encontrado a segunda raiz eliminada,
uma vez que as igualdades (i) e (ii) da segunda raiz eliminada são idênticas
às igualdades (ii) e (i), respectivamente, da terceira raiz eliminada.


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Claudio Buffara
Sent: sexta-feira, 4 de junho de 2004 13:13
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] o valor de x - continuacao

on 04.06.04 06:32, Rogério Moraes de Carvalho at rogeriom@gmx.net wrote:

> Olá Claudio,
> 
> Originalmente, eu resolvi esta questão usando a mesma idéia
> apresentada como quarta solução pelo Fabio, porém eu analisei as condições
> que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as
transformações
> no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das
soluções
> encontradas. É importante ressaltar que na resolução de uma equação
> irracional no campo dos reais, a análise da condição de existência é tão
> importante quanto o fato de encontrar uma equação polinomial
"equivalente".
> Pois, esta equivalência quase sempre é parcial, ou seja, geralmente apenas
> algumas raízes são compartilhadas.
> 
Tudo bem. Concordo. Alias, uma das principais licoes desse problema eh
justamente essa: depois de resolver uma equacao onde coisas foram elevadas
ao quadrado, eh fundamental checar para ver se as solucoes encontradas sao,
de fato, solucoes da equacao original.

Mas voce nao respondeu a minha pergunta: de onde vieram as tres raizes
adicionais, especialmente a outra raiz positiva.

[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================




=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
Follow-Ups:
- Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
  - From: Claudio Buffara
References:
- Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
  - From: Claudio Buffara
Prev by Date: RE: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Next by Date: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
Prev by thread: Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
Next by thread: Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
Index(es):
- Date
- Thread